A játékelmélet és a racionalitás pszichológiája

12. Nem mind fénylik, ami arany

A sorozatunk előző részében vizsgált rejtőzködős lottó elemzése során azt láttuk, hogy a játékosok együttes viselkedése meglepően racionálisnak bizonyult, jóllehet az egyes játékosok igen változatos, de racionálisnak aligha mondható gondolatmenetek alapján választották ki egyes számaikat.

Azt, hogy miféle együttes viselkedést tekinthetünk racionálisnak, ezúttal „biológiai” kritériummal határoztuk meg. Ha egy faj túlélése azon múlna, hogy sikerül-e egyedeinek időnként nyerniük ebben a rejtőzködős lottóban, amelyben más fajok egyedei is részt vesznek, akkor az (és csakis az) a faj tudna fennmaradni a természetes szelekció során, amelynek egyedei minden egyes szám megjátszásának azonos esélyt adnak. Például egy kalapból húzzák ki a megjátszandó számokat. Láttuk, hogy bármiféle más játékstratégiát játszó faj esetén ki tud alakulni olyan konkurens faj, amely kiszorítja az előbbit közös életterükről.
Sorozatunk korábbi részeiben többször is kiderült, hogy a racionalitás (a tiszta ésszerűség) fogalma
nem egyértelműen definiált, sőt, a játékelmélet ismeretében állíthattuk, hogy nem is lehet az. A játékelmélet azt kutatja, hogy egymással versengő, tökéletesen racionális játékosok között miféle stabil egyensúly tud kialakulni, illetve hogy kialakulhat-e ilyesmi egyáltalán. Ezen belül azonban többféle dolgot is érthetünk a tökéletes racionalitás fogalmán. Érthetjük ezen akár az egyén, akár a közösség számára optimális megoldást, és például a fogolydilemma szomorú tapasztalatai azt mutatták, hogy a kettő nem feltétlenül esik egybe.

Evolúciósan stabil stratégiák
Egészen másfajta racionalitásfogalmat kínál a biológiai analógia: egy faj számára nyilván az a viselkedésmód tekinthető optimálisnak, amelynek segítségével eredményesen szerepelhet a túlélésért folytatott versenyben, függetlenül attól, hogy viselkedése logikusnak tekinthető-e vagy sem. Bár egy-egy konkrét konkurens fajt aligha tekinthetünk tökéletesen racionális ellenfélnek, de azt jó okkal feltételezhetjük, hogy amennyiben egy faj stratégiája a túlélési versenyben javítható, akkor az evolúció előbb-utóbb létre fogja hozni azt a fajt, amelyik egy javított stratégiát játszik, és ezzel kiszorítja a korábbi fajt.
A biológusok evolúciósan stabil stratégiáknak nevezik azokat az egyes fajokban megjelenő viselkedési (azaz: játék-) stratégiákat, amelyek mindenképpen fennmaradnak, bármiféle egyéb stratégiát játszó fajokat alakít is ki a természet, feltéve, hogy a faj életfeltételei nem változnak. Az evolúciósan stabil stratégiák általában ugyanúgy kevert (a döntéseket alkalmas véletlengenerátorra alapozó) stratégiák, mint az eddigi játékokban talált optimális stratégiák.
A játékelmélet jelentősége a biológia számára éppen ez: magyarázattal szolgált arra a nyilvánvaló, de eddig nemigen értett tényre, hogy az élővilágra egyaránt jellemző a fajokon belüli sokféleség és az egyes fajok egymást követő generációi közötti stabilitás. Összességében egy faj egyik nemzedéke éppen olyan, mint a másik, hasonló arányban találhatók bennük például nagyobb és kisebb termetű, okosabb és butább egyedek. Ha a fennmaradási versenyben az optimális stratégia valamiféle kevert stratégia, akkor az a faj éli túl hosszú ideig mindenféle versenytársát, amelyik eléri, hogy tagjai összességükben éppen ezt az optimális kevert stratégiát alakítsák ki, akár a testi, akár a gondolkodásbeli tulajdonságok tekintetében.

A kváziracionalitás
Azért lett a rejtőzködős lottóban a véletlenszerű választás, ez az arcpirítóan egyszerű stratégia az optimális (vagy legalábbis: evolúciósan stabil stratégia), mert a játék szabályai nem tesznek semmiféle különbséget az egyes számok között. A játékosok viszont ennek ellenére megkülönböztetik például a négyzet szélén, illetve közepén elhelyezkedő számokat, vagy a szerencseszámaikat. Ez a különbségtétel azonban nem közvetlenül a játék szabályaiból következik, hanem abból, hogy miközben a játékosok a kiválasztandó számokon töprengenek, a többi játékos gondolkodásáról is vannak feltételezéseik.
Ez az eljárás nem racionális, akármennyire is logikusnak látszik, hiszen – a korábbiakban láttuk – az egyetlen tisztán racionális stratégia (legalábbis „biológiai” értelemben) a véletlen választás. Ezeknek a nem racionális stratégiáknak az összessége mégis közelítette az együttes optimális kevert stratégiát. Ezért e gondolatmeneteket sem tekinthetjük egyértelműen ésszerűtlennek. Abból, hogy valami nem tisztán racionális, még nem következik, hogy ésszerűtlen, azaz irracionális. Azokat a cselekedeteket, gondolatmeneteket, helyzetértékeléseket, amelyek nem követik valamiféle színtiszta racionalitás szabályait, de nem is mondanak ellent neki, nem teszik lehetetlenné annak kialakulását, kváziracionálisaknak fogjuk nevezni, így különböztetve meg őket az irracionális, az ésszerűségnek ellentmondó dolgoktól.

A legkisebb egyedüli
A rejtőzködős lottó optimális (legalábbis biológiai értelemben optimálisnak tekinthető, azaz evolúciósan stabil) kevert stratégiája túl egyszerű volt ahhoz, hogy kellő meggyőző erővel bizonyíthasson egy olyan súlyos gondolatot, mint hogy a játékosok egyéni, távolról sem racionális stratégiáit valóban tekinthetjük kvázi-racionálisnak.
Most megismertetjük olvasóinkat egy olyan, társaságban is szórakoztató játékkal, amelynek evolúciósan stabil stratégiája korántsem ilyen egyszerű. Ezt egyszám-játéknak neveztük, és valamikor a Füles rejtvényújság olvasói számára írtuk ki.
Ebben a játékban az egyes számoknak már van „egyéniségük”. A kis számok azért vonzók, mert ha netán egyedül mi küldünk be egy számot, akkor az mennél kisebb, annál biztosabban lesz a mi számunk a „legkisebb egyedüli”, azaz annál biztosabban fogunk nyerni. Ugyanakkor a nagy számoknak is van némi vonzerejük, mivel könnyen előfordulhat, hogy a kis számokkal mind kiütik egymást a pályázók,

és akkor egy egészen nagy számmal is nyerhetünk. Akár az egymillióval is. De ha akad valaki, aki hasonlóan gondolkodik, csak éppen egy kicsit ravaszabb, és az egymillió helyett csak a 999 999-cel pályázik, akkor már ő nyer. Legyünk még nála is ravaszabbak, és írjunk egy még kisebb nagy számot? Hamar eljutunk így is a kis számokig!
Akárcsak a rejtőzködős lottóban, biztos nyerőszám ebben a játékban sem létezik. Minden szám lehet nyerő, attól függően, hogy a többi pályázó milyen számokat választ. Viszont ebben a játékban is létezhet evolúciósan stabil stratégia: egy kevert stratégia, amelyben minden egyes számot egy bizonyos valószínűséggel választunk. Ezek a valószínűségek azonban most nem lesznek minden számra egyenlőek.
Tegyük fel egy pillanatra, hogy a biológiai túlélés az egyszám-játékban elért győzelmeken múlik, és a számok egy és egymillió között lehet választhatók. Ha egy faj, mondjuk, azt a kevert stratégiát játszaná, hogy minden számot egyenlő valószínűséggel választ, akkor az a konkurens faj, amelynek egyedei nagyobb valószínűséggel választják a kisebb számokat, gyakrabban nyerhetne. (Egyrészt kilőné a másik kis számait, másrészt gyakrabban beletalálna a kis számok tartományában az egyforma valószínűségekkel választó partner számai közötti egyenletes eloszlású lyukakba.)
Az egyszám-játék evolúciósan stabil stratégiáját matematikai egzaktsággal kiszámítani igen nehéz, de számítógépes szimuláció

segítségével közelítőleg jól meghatározható. Ez a szimuláció úgy működik, hogy kiindulunk egy hipotetikus lénypopulációból, amelyben egyenlő arányban vannak olyan egyedek, amelyek mindig az 1-es számot játsszák, olyanok, akik mindig a 2-est, stb., egészen egymillióig. Ezután egy játékhoz véletlenszerűen (bárkit ugyanakkora eséllyel) kiválasztunk e lénypopulációból néhány játékost (mond- juk annyit, amennyien a Füles pályázatára neveztek), és megnézzük, hogy ebben a játékban éppen melyik lény nyert. Amelyik győzött, az eggyel szaporodik a populációban, mivel a nyeréssel egy túlélési értéket kapott. Ezzel persze a saját nyerési esélyeit némileg rontja a további játékokban, mivel a szaporodás révén nőtt a valószínűsége annak, hogy a következő játékra kiválasztott csapatban ez a fajta lény két vagy több példányban is jelen lesz, és így abban eleve nem nyer majd. Ha viszont az e csoport által játszott szám még mindig nagyobb esélyt ad a győzelemre, akkor hamarosan valamelyik egyede ismét nyerni fog, ami újabb létszámnövekedést, de egyszersmind a nyerési és továbbnövekedési esély újabb csökkenését eredményezi. Amikor ezt a szimulált játékot néhány milliószor lefuttatjuk a számítógépben, az egyes számokat képviselő lények relatív arányai a sikerességnek megfelelően egyre stabilabban kirajzolódnak – és ezzel az evolúciósan stabil stratégiát is egyre pontosabban megmutatják.
Kérdés, hogy a Füles pályázói együttesen mennyire közelítették ezt az evolúciósan stabil stratégiát: a beküldött számok együttese menynyire hasonlított az egyes számok gyakoriságainak a számítógépes szimuláció során kapott arányaihoz. Ha a hasonlóság nagy, akkor arra következtethetünk, hogy a sok, külön-külön nem racionálisan gondolkodó játékos együttesen ebben a játékban is egy igen racionális stratégiát valósított meg.

A Füles pályázatára 8192 válasz érkezett. A játékosok gondolkodásának sokféleségét mutatja, hogy több mint kétezerféle különböző szám fordult elő. A nyerő szám a 120-as volt; minden ennél kisebb számot legalább négy pályázó írt, kivéve a 94-est, amelyet csak kettő (lásd a táblázatot).
Engedjünk meg magunknak egy bekezdésnyi kitérőt az eredmények egyéb érdekességeiről! A beküldött számok kétharmada páratlan szám; úgy tűnik, hogy a játékosok ezeket érezték mások számára kevésbé hozzáférhetőnek, így a maguk számára jobb nyerési esélynek. Nullára végződő szám összesen 475 érkezett, míg 1-re végződőt 1732-en írtak. Megvizsgáltuk, hogy a beküldők neme vagy lakóhelye szerint mutatkoztak-e eltérések. Meglepetésre szinte semmiféle különbséget nem találtunk, jóllehet több mint százféle kérdésfeltevést megnéztünk; például hogy kik írtak kicsi vagy nagy számokat, kik írtak 1-est vagy éppen 13-ast. Viszonylag sokan gondolkodtak úgy, hogy a kis számokkal majd mind kiütik egymást az emberek, és így egészen nagy szám is nyerhet: 147-en egymilliónál is nagyobb számot küldtek be, heten pedig egyszerűen a végtelen jelét. Egy kisfiú leírt egy egyest s utána 36 nullát, és megjegyezte, hogy ez nagyon nagy szám és nagyon ritka.

Az Egyszám-játék elemzése
Ha a számokat egyesével vizsgáljuk, akkor a pályázat eredménye igencsak különbözik az elméleti, számítógépes szimulációval kapott optimális kevert stratégiától. Például az evolúciósan stabil stratégiában nagyjából egyenlő arányban szerepelnek páros és páratlan számok. A szerencseszámok (7, 13, 17, 21, stb.) és az 1-es is kiugróan többször fordultak elő, mint a szomszédaik (érdemes megnézni a táblázatban!), és lényegesen többször, mint az evolúciósan stabil stratégia indokolná. Ha azonban ezektől a számoktól eltekintünk,

továbbá a számokat tízes csoportokba osztjuk (ezzel kiegyenlítve a különböző végződésű számok gyakoriságainak lokális ingadozásait), akkor a pályázatok megmaradó több mint 80 százaléka már meglehetősen pontosan kiadja az evolúciósan stabil stratégiát.
Eszerint tehát ebben a játékban is megtalálhatók a pályázók körében olyan irracionális gondolkodásmódok, mint a szerencseszámok választása, vagy az, hogy „megüt a guta, ha senki sem ír egyest, és én sem”. Másfelől viszont az is kiderült, hogy a pályázók mintegy 80 százalékának gondolkodása együttesen közelítőleg kváziracionálisnak tekinthető. (Tudjuk: bármilyen gondolatmenet, amely nem a véletlen választáson alapul, tisztán racionálisnak biztosan nem tekinthető!) A pályázók sokféle
kváziracionális gondolatmenetében együttesen jól kiegyensúlyozódott például a kis és a nagy számok különböző okokból adódó vonzereje.
Pszichológiai szempontból nézve, persze, sokféle gondolatmenet vezethet olyan eredményre, hogy „valamilyen 160 és 170 közötti számot kellene megjátszanom”, de egyelőre vizsgálati eszközeink csak olyan finomságú felbontást engednek meg, hogy mindezeket egyetlen stratégiának tekintsük az evolúciósan stabil stratégia elemzésében.
Ennek tudatában még meglepőbb, hogy az emberek nagy többsége figyelemre méltó pontossággal az evolúciósan stabil stratégia szerinti együttes viselkedést produkálta. Más szemszögből nézve: az evolúciósan stabil stratégia fogalmának segítségével meglehetős pontossággal előre tudjuk jelezni az emberek együttes viselkedését bizonyos jól meghatározott játékokban, olyanban vagy hasonlóban mint az egyszám-játék vagy a rejtőzködős lottó. A játékelmélet erejét mutatja, hogy ilyen bonyolult tömegpszichológiai jelenségek előrejelzésére is meglehetősen hatékony eszközt tud adni.

Mérő László