Ezrednyitó tudományos esték

ÚJABB KINCSEK
BOLYAI JÁNOS HAGYATÉKÁBÓL

Bolyai Jánost (1802–1860) a közvélemény, de a
matematikusok széles tábora is a geometria nagy
felfedezőjeként tartja számon. Egyetlen, életében
megjelent műve elég volt ahhoz, hogy nevét világhírűvé
tegye és nagy dicsőséget hozzon hazájának.
A tudománytörténet a halhatatlan tudósok sorába emelte,
lezártnak, befejezettnek tekinti életművét. Nemrég
még azt hittük, hogy már minden lényegeset elmondottunk
róla. Halála óta 141 év telt el, elég hosszú idő ahhoz,
hogy minden gondolatát napvilágra hozzuk, megértsük
és közreadjuk. Bármily különösen hangzik is, nem ez történt.

Kiss Elemér professzor ezt a cikkét lapunknak a Pápai Kollégiummal és a Természet Világa folyóirattal közösen szervezett Ezrednyitó tudományos estéken [ÉT 2001/6.] tartott előadása alapján írta. A témáról bővebben beszámolt a Természet Világa Matematika különszámában, és eddigi eredményeiről könyv is jelent meg: Matematikai kincsek Bolyai János kéziratos hagyatékából (Akadémiai Kiadó – Tipotex 1999) Staar Gyula interjút készített szerzőnkkel a Bolyai-hagyaték kutatásairól, amely az ÉT 2000/1. számában olvasható (internetes archívumunkban is megtalálható). Kiss Elemér matematikatörténeti kuriózumnak számító eredményeiből cikk jelent meg a mértékadó Historia Mathematica amerikai folyóiratban (Notes on János Bolyai’s Researches in Number Theory, 1999). Jelenleg a szerző egy átfogó tanulmányon dolgozik, amelyet 2002-ben, a Bolyai emlékévben közöl e legrangosabbnak számító tudománytörténeti orgánum.

Bolyai életét, tevékenységét sokan kutatták, ám számos nem geometriai természetű matematikai felfedezését mégsem ismerte meg a világ.Ő nem csak az Appendixet hagyta ránk örökül; nagy munkájának megalkotása után is állandóan dolgozott, jegyzetelt. Ennek eredménye hatalmas kéziratos hagyatéka, amelyből csupán Marosvásárhelyen 14 000 oldalnyit őriznek a Teleki-Bolyai Könyvtárban. Nagy árkusokra, olykor meg apró papírszeletkékre írt, e feljegyzésekben rejtőznek azok a „kincsek” (így nevezte Bolyai az általa megtalált matematikai tételeket), amelyekből csak az utóbbi évek kutatásai nyomán sikerült többet felszínre hoznom.
Joggal kérdezhetjük: miképpen lehetséges, hogy eddig egyetlen magyar szakember sem hatolt be tüzetesen a Bolyai-iratok rejtelmeibe?
Miért kellett ilyen sokat várni a feltárásukra? A kérdésekre két magyarázat is lehetséges. Egyrészt a kéziratokat elég nehéz olvasni, megérteni, Bolyai új szavakat, betűket alkotott jegyzeteiben. Meg kell birkóznunk szokatlan jelrendszerével is. Így a kéziratok tanulmányozása könnyen kedvét szegi a kevéssé kitartó olvasónak. Másrészt, az eddigi Bolyai-irodalmat olvasva több alkalommal tapasztalhatjuk, hogy tekintélyes szerzők szinte lebeszélnek a kutatásról, kilátástalannak, reménytelennek tartják a búvárkodást. Íme, néhány példa.
A XIX. század végén az Akadémia felkérte Budapestre a kéziratokat átvizsgálásra. Huszonöt év elteltével ezzel a kísérő szöveggel küldték vissza Marosvásárhelyre a hagyatékot: „...ezen iratokban kiadásra alkalmas anyag nem találtatott...”. Paul Stäckel – aki a XX. század elején a legtöbbet tett azért, hogy a világ megismerje a két Bolyai munkásságát – így nyilatkozik: „Bolyainak a számelméletre vonatkozó feljegyzéseivel nem érdemes behatóan foglalkozni.” Az Akadémia egyik 1953-as kiadványában olvashatjuk. „A Marosvásárhelyen őrzött Bolyai-hagyaték alapos átvizsgálásra érdemes – bár túlzott reményeket táplálni nem helyes.”
Nem éppen biztató szavak. Ha mégis nagy türelemmel és kellő alázattal közeledünk az iratokhoz, igazi meglepetésekben lehet részünk. Felfedezzük, hogy Bolyai a geometria mellett mai szemmel nézve is jelentősnek mondható eredményeket ért el az algebrában, a számelméletben és az analízisben, sokszor megelőzve az elkövetkező évtizedek matematikusait. Az alábbiakban három olyan számelméleti problémát említek meg, amelyek Bolyai Jánost sokat foglalkoztatták.

Ezt a Bolyai János kéziratában szereplő szép összefüggést Jeans-tétel néven ismerik, mert a kozmológiai elméletéről híres angol matematikus közölte először nyomtatásban 40 évvel Bolyai halála után, mit sem tudva elődjéről. (Bolyai a kongruenciákban a modulust O-rel jelöli.)	A németül írt szövegben megtaláljuk a 415–1 ş1 (mod 15) ellenpéldát, azaz, hogy 414–1 osztható 15-tel.
Részlet Bolyai Jánosnak apjához írt leveléből, amelyben Fermat „karácsonyi tétel”-ének háromféle bozonyítását adja meg. A 2. demonstráció (Dem. 2.) fölött az alig olvasható és egyéni rövidítésekkel nehezített pár sor maga is egy teljes, alighanem a legrövidebb bizonyítás. (Az a Ĺ b az a + bi komplex szám.)

„Atyám sejtése oly szép és becses”
Észrevesszük, hogy például 2⁴-1 osztható 5-tel, 3⁴-1 osztható 5-tel, 2¹⁰-1 osztható 11-gyel, de 2⁵-1 már nem osztható 6-tal. Minden bizonnyal ilyen feladatok vezették el P. Fermat (1601–1664) francia matematikust ahhoz a felismeréshez, hogy

Bolyai János édesapja, Bolyai Farkas (1775–1856) kívánságára vizsgálta a tétel fordítottját, vagyis azt kérdezte, hogy ha a^m–1 ş 1 (mod m), akkor innen következik-e az, hogy az m szám prím? Jánosnak nagyon tetszett a feladat. Egy helyen megjegyzi: „Atyámnak ez az elmés sejtése oly szép és becses”. Valóban igen értékes volt ez a gondolat. Akkoriban még csak két matematikus agyában merült fel, amiről persze a Bolyaiak nem tudtak.
Bolyai János több eredménytelen bizonyítási kísérlet után kimutatta, hogy Fermat tételének fordítottja nem áll fenn. Több olyan m összetett számot is talált, amelyekre az a^m–1 ş 1 (mod m) összefüggés igaz. Kimutatta például, hogy

2³⁴⁰ ş 1 (mod 341),

pedig 341=11´31. Vagy a „kongruenciák”* jelöléseit visszafordítva az egyszerű oszthatóságra: a 2³⁴⁰ szám alsó szomszédja többszöröse a 341-nek.(A teljesítmény értékeléséhez megjegyezzük, hogy ez a szám több mint százjegyű. A numerikus ellenőrzés még mai számológépeinkkel sem problémamentes. Erről bővebben olvashatnak a Diákoldal mellékletben.)
Eredményét egy levélben írta meg apjának, megjegyezve, hogy a 341-es számot „történetesen, de nem vaktában” találta, hanem „elmélet” útján. Bebizonyította, hogy

Ez egy valódi kincs, egy szép Bolyai-tétel. A matematikai irodalomban azonban Jeans-tétel néven ismeretes, mert először az angol matematikus-fizikus közölte nyomtatásban, mintegy 40 évvel Bolyai János halála után.
Érdekes megfigyelést tehetünk, ha összehasonlítjuk Bolyai János bizonyításának egy részletét (1. ábra) Erdős Pál 1949-ben írt dolgozatával. Erdős is ugyanazt a gondolatmenetet követi, mint Bolyai, természetesen anélkül, hogy ismerte volna Bolyai jegyzeteit.
Bolyai még más „ellenpéldát” is szerkesztett a kis Fermat tételre. Megmutatta például (2. ábra), hogy
4¹⁴ ş 1 (mod 15)
(Erről is olvashatunk a Diákoldalon.)

A karácsonyi tétel
Ismert a következő tétel:

Ezt a tételt is Fermat fogalmazta meg 1640 karácsonyán, de csak L. Euler bizonyította be vagy 100 évvel később. Euler bizonyítása hosszasra sikerült, ami feltűnt Bolyai Farkasnak, és ismételten a fiához fordult azzal a kéréssel, hogy készítse el a tétel „legegyszerűbb” bizonyítását. János rövidesen a tétel négyféle bizonyítását is elküldte apjának. Ezek közül az egyik „demonstratio” feltűnően rövid és egyszerű, sokáig nem is vettem észre, mert Bolyai jegyzetében két sor közé szorította be (3. ábra). Erre az úgynevezett „karácsonyi tétel”-re a XX. század több matematikusa keresett rövid bizonyítást. Úgy érezzük, hogy Bolyai János valamennyi XX. századi szerzőt megelőzött a bizonyítás egyszerűségében, már valamikor a XIX. század derekán.

„...halavány almazöld színű papíron”
A Bolyai hagyaték egyik füzetlap nagyságú papirosán váratlanul szemem elé került Bolyai János bűvös négyzete:
x y 3b-x-y4b-2x-y b 2x+y-2b
x+y-b 2b-y 2b-x
Azonnal feltűnik, hogy Bolyai betűkkel szerkesztette meg ezt a bűvös négyzetet, és az elkészítésénél három változót használt: x, y, b. Dénes József professzor úr hívta fel a figyelmemet arra, hogy csak 1938-ban bizonyította be J. Chernick a következő tételt: Bármely harmadrendű bűvös négyzet három változóval megszerkeszthető. Lám, ezt már Bolyai is tudta! Chernick a tételének bizonyítását a következő példán szemlélteti:

Azonnal meggyőződhetünk arról, hogy ez lényegében Bolyai János bűvös négyzete. (A két négyzet „bűvösségének” ellenőrzését, és azonosságának megmutatását olvasóinkra bízzuk.)
Sajnos Bolyai Jánost anyagi lehetőségei megakadályozták abban, hogy munkáit megjelentethesse. Pedig szerette volna azokat – amint írja – „halavány almazöld színű papíron” közölni. 1840 körül írta: „Ideje már a Tisztelt Olvasót fölvilágosítani s egyszer mindet saját Appendixi stílusomon kiadni.”
Most 160 évvel ezután, s születésének 200. évfordulójának küszöbén valóban ideje már lángelméjű tudósunknak minden gondolatát felszínre hozni, s az előttünk járók munkáját kiegészítve, az eddigi Bolyai-portrét átértékelni, teljesebbé, színesebbé és igazabb képpé formálni.

Kiss Elemér
Marosvásárhely