3. Nevezetes ponthalmazok síkban és térben

A 2006. májusi/júniusi emelt szintű szóbeli érettségi egyik vizsgatételvázlatát adjuk közre.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ez a tételvázlat a szerző elképzeléseit tükrözi, de semmiképpen nem tekinthető hivatalosnak.

A tétel címe nagyon tágan értelmezhető. A geometria a ponthalmazok vizsgálatával foglalkozó matematikai tudományág, így a legtöbb geometriai fogalom ponthalmaz.
Az, hogy a vizsgázó mit tekint nevezetes ponthalmaznak, egyéni megítélés tárgya lehet.

A következőkben néhány - általunk nevezetesnek ítélt - ponthalmazról ejtünk szót.

Definíciók:
1. Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban (szakaszfelező merőleges)

2. Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a térben (szakaszfelező merőleges sík)

3. Két adott, metsző egyenestől egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban (szögfelező egyenesek)

4. Két adott, metsző síktól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban (szögfelező síkok)

5. Adott ponttól adott távolságra pontok halmaza a síkban (kör)

6. Adott ponttól adott távolságra pontok halmaza a térben (gömb)

7. Adott egyenestől adott távolságra pontok halmaza a térben (henger felület)

8. Adott egyenestől és adott, rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra pontok halmaza a síkban (parabola)

9. Azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek két adott ponttól mért távolságösszege állandó (ellipszis)

10. Azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek két adott ponttól mért távolságkülönbségének abszolút értéke állandó (hiperbola)


Tételek:

1. A kör, a hiperbola, az ellipszis és a parabola kúpszeletek (bizonyítás)

2. Az y=1/x egyenletű görbe hiperbola


Alkalmazások:

1. Kepler-törvények (fizika)

2. A hangrobbanás és a hiperbola

3. Hőfókuszáló parabolatükör



Feladatok:

1. Az ABCD négyzet belsejében adjuk meg azon P pontoknak a halmazát, amelyekre igaz, hogy a PAB, PBC és PCD háromszögek között van két egybevágó!

2. Legyen adott a síkban az A és B pont. A sík minden AB-re nem illeszkedő P pontjához rendeljük hozzá azt a Q pontot, amelyre AP merőleges AQ-ra és BP merőleges BQ-ra! Mi a Q pontok mértani helye, ha P végigfut egy egyenesen? (megoldás)

Tarcsay Tamás