Logaritmus francia módra

Matos Zoltán tanár úrtól, aki a SZTE Ságvári Endre Gyakorló Gimnáziumban francia nyelven is tanítja a matematikát, kaptuk az itt következő írást

Magyarországon a logaritmus fogalmának kiépítését a tizenegyedik évfolyamon a hatványozás egészről racionális (érdeklődőbb vagy emelt szintű osztályokban valós) kitevőre való általánosítása és az exponenciá1ís függvény vizsgálata előzi meg.
A tisztán algebrai definíciónk szerint„ A b szám a alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre a-ti emelve b-t kapunk, ahol a egytől különböző pozitív szám, b pedig pozitív szám. Jelölése:

(Sokszínű matematika 11. p. 93) A könyv megemlíti még, hogy a 10-es alapú logaritmust lg-vel, az e alapú logaritmust ln-nel jelöljük. A hatványozás azonosságainak és az exponenciális függvény tulajdonságainak segítségével négy (esetleg, a gyök logaritmusára vonatkozó azonossággal öt) azonosságot bizonyítunk.
A kiépítés módjának eredményeként a tanulók egy olyan logaritmusfogalmat kapnak, amellyel „könnyen” tudnak számolni, jól átlátható és hetedikként belehelyezkedik a már definiált műveletek sorába.

Ezzel szemben Franciaországban a logaritmus fogalmát függvénytani úton közelítik meg a természettudományos és a gazdasági érettségire készülő végzős osztályokban.

A  deriválás és a határozatlan integrál kiépítése után csak az e-alapú logaritmust definiálják a következő képen: „A természetes alapú logaritmusfüggvény, amelyet ln-nel jelölünk, a pozitív valós számok halmazán értelmezett , 1-ben zérushellyel rendelkező primitív függvénye a reciprokfüggvénynek

A definíció közvetlen következményeként említik, hogy

·        minden pozitív valós x-re,

·        ln 1 = 0

·        ln x >0, ha x>1, és ln x <1, ha x 0 és 1 közötti valós szám.

A logaritmus azonosságait szintén függvénytani úton bizonyítják, melyek közül álljon itt példaként az összeg logaritmusára vonatkozó azonosság igazolása. 

Tétel:

Minden pozitív valós a és b, esetén  ln(ab) = ln a  + ln b.

Bizonyítás: Legyen a tetszőleges pozitív valós szám! Vizsgáljuk a pozitív számok halmazán értelmezett, f(x) = ln (ax) – (ln a + ln x) hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! 

Az összetett függvény deriválási szabálya alapján:

tehát az f függvény konstans függvény. Nyilvánvaló, hogy

f(1) = f(a)-(ln a + ln 1) = 0, így bármely pozitív x-re f(x) = 0. Ekkor f(b) is 0, azaz

f(b) = ln (ab) - (ln a + ln b) = 0 , ahonnan ln(ab) = ln a  + ln b.

Más tudományokban való hasznosságra hivatkozva, a nálunk azonosságként bebizonyított formulával, az általuk log-gal jelölt, tízes alapú logaritmust is definiálják

Más alapú 1ogaritmussal nem foglalkoznak, tantervük meg sem említi.