Mégsem mozog!

Dr. Szilassi Lajos tanár úr egy korábbi írásában egy érdekes poliéderrel ismertetett meg bennünket, és feltett egy kérdést e poliéder mozgathatóságára vonatkozóan.
Itt olvasható a válasz!

Akkor tekintsünk egy poliédert mozgathatónak (flexibilisnek), ha a az élei mentén hajlítható, de egyébként merev lapokból összeállított poliéder nem egyértelműen meghatározott, vagyis ezekből az adatokból építhető olyan poliéder, amelynek a lapszögei folytonosan változhatnak.

Legyen a vizsgált poliédernek A, B és C az a három csúcsa, amelyek egy - az egyszerűbb számolás kedvéért 2 egységnyi oldalhosszú - szabályos háromszöget határoznak meg.

Ennek a poliédernek - akár mozgatható, akár nem - a szerkezetéből, továbbá az élei adott hosszából következően van három szimmetriasíkja, amelyek páronként merőlegesek egymásra. Így két paraméterrel (legyenek ezek x és y ) jellemezhető az összes csúcsa.

A poliédert elhelyezhetjük úgy a térbeli derékszögű koordinátarendszerben, ahogy az ikozaédert is legcélszerűbb: e három pont essen a három koordináta-síkra. Legyenek a koordinátáik: A(y,x,0), B(0,y,x) és C(x,0,y).
Ekkor a csúcsokat meghatározó téglalapok oldalai 2x, ill. 2y..Felírva az AB pontok közötti távolságot, és kihasználva, hogy AB=BC=CA=2, x és y között az alábbi összefüggést kapjuk:

Azok az (x,y) számpárok, amelyek a fenti egyenletet kielégítik, biztosítják hogy a poliéderünk szabályos háromszöglapjai egybevágók, élük, valamint a tompaszögű háromszögek szárainak a hossza 2. Mivel a háromszöglapok "merevek", annak is teljesülni kell, hogy e háromszögek alapja mindig T maradjon. (Lásd az első írást!)

Bár alkalmas x értékekre a fenti másodfokú egyenlet mindkét gyöke pozitív, elegendő az

függvényt vizsgálnunk. (A másik függvény értéke sehol nem éri el a T, közelítően 1, 61803 értéket.)

Erre a függvényre - mint várható volt - teljesül, hogy

(amely éppen a szabályos ikozaéder koordinátáit jelenti), de emellett

is teljesül, sőt e két stabil helyzet között f(x)-T nem több mint 0.015 -del, tehát kevesebb mint 1%-kal tér el a 0-tól. De eltér, így matematikailag ez nem mozgatható.

Ha papírból késztjük el ezt a poliédert, akkor e kis eltérésnek és az anyag "engedékenyésgének" köszönhetően a poliéder modellje látszólag mozgatható.

Megjegyezzük még, hogy ismert több, látszólag mozgatható poliéder, azonban igen nehéz valóban, matematikai eszközökkel igazolható módon mozgatható (flexibilis) poliédert találni.

Dr. Szilassi Lajos