Burjánzó tetraéderek

Egy korábbi írásunk a poliéderek kiteríthetőségéről szólt. Ennek "melléktermékeként" született az itt közölt cikk. Egy érdekes poliédercsaládot ismertet meg az olvasóval.

Mint ismert, a szabályos tetraéder lapszöge megközelítően 70,53 fok, vagyis kevesebb, mint 72 fok.
Ebből következően elhelyezhető a térben öt egybevágó szabályos tetraéder úgy, hogy legyen egy közös élük, továbbá minden tetraédernek legalább egy lapja essen egybe valamelyik másikkal.
Nevezzük ezeket az egyetlen közös lappal rendelkező tetraédereket szomszédosaknak. Az így kapott öttagú sorozat első és utolsó (ötödik) tagja között durván 7 foknyi "rés" van. A rés két lapjára már nem illeszthető szomszédos tetraéder.

1. ábra
1. ábra
Ez indokolja a következő probléma felvetését:

Állítsuk elő egybevágó szabályos tetraéderek halmazainak a sorozatát a következő szabály szerint:

- Az első halmaz egy szabályos tetraéderből áll: T[1]:={A}.

- A T[k] halmaz tetraédereit úgy kapjuk, hogy mindegyiket egy-egy T[k-1]-beli tetraéderhez illesztjük, amíg csak ez lehetséges. (k=2, 3, 4, ...)

- Bármely két tetraédernek nem lehet közös belső pontja.

- Ha a T[k-1] tetraéderek között van két olyan, hogy ha az egyikre illesztünk egy T[k]-hoz tartozó tetraédert, akkor a másikhoz már nem tudunk, akkor véletlenszerűen döntsük el, hogy azt melyikhez illesztjük.

Így a T[2] halmaz elemei azok a tetraéderek, melyek szomszédosak A-val, ezért a T[2] halmaz 4 tetraéderből áll.
Mivel a T[2] halmaz minden tetraéderének három lapjára illeszthető egy-egy T[3] halmazhoz tartozó tetraéder, ezért T[3] elemeinek a száma 4*3=12.
A kiindulásul vett A tetraéder minden élére két T[2]-beli és két T[3] -beli tetraéder illeszkedik. A T[3] halmaz tetraédereinek már lesznek szabadon maradó lapjai, melyekre nem "fér el" a következő T[4] halmazhoz tartozó tetraéder.
Így e sorozat minden tagja csupa szabályos háromszögből álló egyszerű poliéder.
Az eljárással kapcsolatban az alábbi kérdések vethetők fel:

1. Határozzuk meg a T[4], T[5] ,... halmazok elemeinek a számát.

2. Ha döntenünk kell, hogy melyik T[k-1] -beli tetraéder laphoz illesztünk T[k] -beli tetraédert, akkor függ-e a döntésünktől a halmaz-sorozat elemeinek a száma? Van-e jobb, vagy rosszabb elrendezés? (Azt tekintsük jobbnak, ahol az adott halmaznak több eleme van.)

3. Adható-e valamilyen becslés az így kapott halmaz-sorozat elemeinek a számára?
E sorok írója elvégzett a Maple program segítségével egy számítógépes kísérletet, amely alapján a k=15-ig megkapta a T[k] halmaz tetraédereinek a számát egy lehetséges elrendezés esetén:
1, 4, 12, 24, 36, 52, 68, 76, 88,

110, 146, 179, 198, 226, 276.

A k=15 poliédere
A k=15 poliédere
Az is előfordulhat, hogy a sorozat véges, azaz egyszer csak nem tudunk egyetlen tetraédert sem elhelyezni a következő rétegbe.
Gondoljuk meg! Kiparkettázzuk a síkot csupa egybevágó szabályos háromszöggel. Mindegyik háromszöglapra illesztünk egy-egy tetraédert. Illeszthetünk-e így az ilyen módon kapott tetraéder-halmazhoz újabb tetraédereket?

4. Igaz-e, hogy ezek a burjánzó poliéderek kiteríthetők? Ha igen, melyik értelemben?

Dr. Szilassi Lajos