A számítógép ismét segített

Egy újabb példa arra, hogy a számítógép segíthet egy, a tanítási órán megjelenő probléma megoldásában.

Minek az egyenlete?

A kör egyenletének megtanítása után - a szokásoknak megfelelően - felvetettük azt a kérdést, hogy minden másodfokú, kétismeretlenes egyenlethez van-e olyan kör, aminek az egyenlete.
Úgy keresetük a választ a kérdésre, hogy megadtam a következő egyenleteket:

A tanítványaimnak ki kellett választaniuk közülük a köregyenleteket, és meg kellett adniuk a nekik megfelelő körök középpontját és sugarát.
Miután a tanult alakba akarták hozni a gyerekek az egyenleteket, megállapították, hogy a 3. egyenlet kör egyenlet, és a 4. egyenletnek nincs egyetlen valós számpár megoldása sem.
A 2. és a 5. egyenletben van xy-t tartalmazó tag, az 1. és 5. egyenletben a másodfokú tagok együtthatója különböző, ezért az 1. 2. és 5. egyenletek sem körök egyenletei.
Természetesen adódó kérdésként vetették fel a tanulók, hogy ez utóbbi három egyenletek milyen ponthalmazokat határoznak meg.
Még nem álltak rendelkezésünkre olyan eszközök, hogy pontosan megválaszoljuk a kérdést. (Normál tantervű csoportokban a középiskolás tanulmányok során, a későbbiekben sem lesznek ilyen eszközeink.)
Segítségül hívtuk a számítógépet. A Derive program alkalmas arra, hogy egyenlettel megadott ponthalmazokat megjelenítsen.
Így kaptuk az 1. egyenletnek megfelelő ábrát:

1. ábra
1. ábra
A 2. egyenlet által megadott ponthalmaz:

2. ábra
2. ábra
Az 5. egyenletnek megfelelő ábra:

3. ábra
3. ábra
Ezek után - mint általában lenni szokott - több új probléma vetődött fel:

• Milyen ponthalmazok szerepelnek az ábrákon?
• Lehet-e más típusú görbét is megadni másodfokú kétismeretlenes egyenlettel?
• Mi dönti azt el, hogy egy egyenlethez milyen típusú görbe tartozik?

A válaszok megadására - esetleg - később kerülhet sor.

Tarcsay Tamás