Az y=1/x egyenletű görbéről

A címben említett ponthalmazzal már elég korán, a fordított arányosság tanulása közben találkozunk, és azt mondjuk róla, hogy hiperbola. Tényleg az?
Erről szól írásunk.

Az ábra a Derive programmal készült.

Ha vizsgáljuk azt a függvényt, aminek ez a ponthalmaz a grafikonja, akkor sok fontos tulajdonságát megismerhetjük a vizsgált ponthalmaznak. Megállapíthatjuk, hogy az y=x egyenletű egyenes szimmetriatengelye, és a szimmetriatengelyen levő pontjai az A(1,1) és a B(-1,-1) pontok.

A hiperbola fogalma teljesen független a függvények fogalmától.

Ha azt akarjuk megmutatni, hogy a fenti ponthalmaz hiperbola, Meg kell adni a Fókuszait és a - szokásos módon a-val jelölt - paraméterét.
A definícióból következően, ha a vizsgált ponthalmaz hiperbola, akkor az a paraméter értéke az AB távolság fele, azaz:

A valós tengely egyenese szimmetria okokból csak az y=x egyenletű egyenes lehet, és a fókuszok koordinátáit kereshetjük ilyen alakban: F1(f,f) és F2(-f,-f).

A vizsgált ponthalmaz tetszőleges pontja legyen P(x,1/x). Az x 0-tól különböző valós szám.
Kérdés az, hogy vannak-e olyan F1 és F2 pontok amelyekre bármely P pont esetében teljesül, hogy

Felhasználva a két pont távolságára vonatkozó összefüggést, ez azt jelenti, hogy minden nullától különböző valós x-re teljesülni kell az alábbi egyenlőségnek: