Dr. Katz Sándor:Ha több az ismeretlen, mint az egyenlet II.

Ezúttal ismét olyan egyenletekkel, egyenletrendszerekkel foglalkozunk, amelyekben több az ismeretlen, mint az egyenlet. Az előző feladatsorban az ismeretlenek értékei közül nem is mindet tudtuk meghatározni.

Most olyan feladatokat nézünk, amelyekben az első látásra kevésnek tűnő feltételből is az összes ismeretlen értéke meghatározható.
Az ebben a cikkben szereplő módszerek jól használhatók a különböző szintű versenyeken, így a tehetséggondozó munkában jól használható ez az írás (a szerk.).

I. Az első típusban azt a tényt használjuk fel, hogy négyzetszámok összege akkor és csak akkor lehet 0, ha mindegyik szám 0.

1. Milyen (x,y,z) valós számokra teljesül?

Redukáljunk 0-ra és alakítsunk teljes négyzetté!

A fentebb említettek szerint ez akkor és csak akkor teljesülhet, ha x = y = z = 1.


2. Milyen (x,y,z) valós számokra teljesül a következő egyenletrendszer?

Vonjuk ki a két egyenletet egymásból!

Ebből x = y = z . Ezt visszahelyettesítve pl. a 2. egyenletbe kapjuk, hogy z négyzete 100. Így a megoldások x = y = z = 10, vagy x = y = z = -10.

3. Milyen (x,y) valós számokra teljesül?

Itt egy kicsivel több ötletre van szükségünk. A 0-ra redukálás után adjunk a bal oldalhoz egy alkalmasan választott tagot , és vonjuk is ki azt!

Ez akkor és csak akkor lehetséges, ha

Ebből

Ha a fenti egyenletben 0-ra redukálás nélkül mindkét oldalból a korábban említett tagot vonunk ki, akkor a

egyenlethez jutunk, ahol a bal oldal nem negatív, a jobb oldal nem pozitív, ezért a két oldal csak akkor lehet egyenlő, ha mindkettő 0. Ezzel egy új egyenletmegoldási módszerhez érkeztünk.