Terület-átdarabolások 2.

A terület-átdarabolásokkal foglalkozó korábbi írásunkban beláttuk, hogy egy trapézátló által meghatározott háromszögek közül a szárakon fekvők területe egyenlő! A kitűzött - erre visszavezethető - feladatok megoldása melett újabb, hasonló feladatokat is közlünk.

A matematikában gyakran hivatkozunk korábban megoldott feladatra. Ezt az eljárást tréfásan a "teafőző elv"-nek nevezzük:
Egyszer egy matematikus és egy fizikus között az alábbi párbeszéd hangzott el:
- Egy üres teáskanna és egy kikapcsolt villanyrezsó van előtted. Mit csinálsz, hogy megmelegítsd a vizet? - szólt a matematikus.
- Megtöltöm a teáskannát vízzel, bekapcsolom a rezsót, majd a teli kannát felteszem a rezsóra. - válaszolta a fizikus.
- Rendben! Ezek után hogyan oldanád meg a következő feladatot: a bekapcsolt rezsó mellett áll egy hideg vízzel teli teáskanna. Mi a teendőd, hogy megmelegítsd a vizet?
- Ez még egyszerűbb! A rezsóra helyezem a teáskannát!
- Szó sincs róla! - mondta a matematikus. - Ki kell kapcsolnod a rezsót, ki kell öntened a vizet, és így egy olyan feladathoz jutsz, amit korábban már megoldottál!

(A teafőző-elv két könyvben is megtalálható:
Ruszev-Ruszeva: Matematikai mozaik és
R. Smullyan: Mi a címe ennek a könyvnek?)

Az előző terület-átdarabolásos írásban három - egymásra épülő - feladatot tűztünk ki. Az első maga az alapfeladat volt, a második így szólt:

Az ABC háromszög egyik oldalán vegyünk fel egy tetszőleges P pontot! Rajzoljunk a P ponton keresztül olyan egyenest, amely két egyenlő területű részre bontja fel a háromszöget, ha

1. ábra
1. ábra
a) P az AB szakasz végpontja;

b) P az AB szakasz belső pontja!

Kössük össze a BC szakasz F felezőpontját az P=A ponttal! Az így kapott s súlyvonal felezi az ABC háromszög területét, mivel BF = FC és a hozzájuk tartozó magasság közös. P = B esetben az AC oldalhoz tartozó súlyvonal felezi a háromszög területét.

2. ábra
2. ábra


Ha P az AB szakasz belső pontja, kössük össze a C csúccsal, és az A (vagy B) csúcson keresztül szerkesszünk PC-vel párhuzamost, amely BC (AC) egyenesét E-ben metszi. Mivel APM és a CEM háromszögek területe megegyezik, így az ABC és PBE háromszögek területe is egyenlő. A PBE háromszög területét a P-ből kiinduló súlyvonal felezi, így PE egyenese a keresett egyenes.



3.
Az ABCD konvex négyszög AB oldalán vegyünk fel egy tetszőleges P pontot! Rajzoljunk a P ponton keresztül olyan egyenest, amely két egyenlő területű részre bontja fel a négyszöget, ha

3. ábra
3. ábra
a) P az AB szakasz végpontja;
b) P az AB szakasz belső pontja!

Ha a P pont az AB oldal egyik végpontja (pl. P=A), akkor kössük össze az A pontot C-vel, majd AC szakasszal rajzoljunk párhuzamost a D ponton keresztül, amelynek jelöljük a BC egyenesével való metszéspontját E-vel és a CD szakasszal való metszéspontját M-mel. Az ACED négyszög az E felvétele miatt trapéz, ezért AMD és EMC háromszögek területe egyenlő, így az ABCD négyszög és az ABE háromszög területe is egyenlő. Az ABE háromszög területét az A pontból kiinduló súlyvonal felezi, így AF súlyvonal az ABCD négyszög területét is felezi.

4. ábra
4. ábra
Ha a P pont az AB oldal egyik belső pontja, akkor az előzőek alapján daraboljuk át az ABCD négyszöget az ABE háromszögre, majd szerkesszük meg e háromszög E pontból kiinduló EF súlyvonalát, ami az ABE háromszöget két egyenlő területű részre osztja. Szerkesszünk az AB szakasz F felezőpontján át a PE szakasszal párhuzamost, amely a BE szakaszt G-ben metszi. A PFGE négyszög trapéz, így PFM és a GEM háromszögek területe egyenlő, ezért PBG háromszög területe megegyezik a FBE háromszög területével, ami az átdarabolás miatt az ABCD négyszög területének a fele, így PG a keresett egyenes. (Ha G pont nem illeszkedik a BC szakaszra, az átdarabolást AC átló helyett a BD átlóval végezzük.)

Feladatok:
1.
Adott egy tetszőleges ABC háromszög. Keressük meg a háromszög síkjában az összes olyan P pontot, amelyekre az ABP háromszögek területe megegyezik az adott ABC háromszög területéve!

2.
Adott egy tetszőleges ABC háromszög. Keressük meg a háromszög síkjában azt a P pontot, amelyre az ABP háromszög területe megegyezik az adott ABC háromszög területével, és a kerülete minimális!

3.
Keressük meg egy tetszőleges konvex négyszög belsejében az összes olyan P pontot, amelyet a négyszög két szemközti csúcsával összekötve két egyenlő területű sokszöget kapunk!

Konfár László