Komplex számokkal (is) megoldható geometria feladatok

A középiskolák alaptantervű matematikát tanuló csoportjaiban a legbővebb megismert számhalmaz a valós számok halmaza.
Emelt szintű csoportokban, szakkörökön vagy egyéni tehetséggondozás keretében módot találhatunk arra is, hogy a komplex számok halmazát és az azokkal végzett műveletek tulajdonságait is megismertethessük a tanítványainkkal.

Ekkor gyakran előfordul, hogy valamelyik diákunk nekünk szegezi azt a kérdést, hogy mire is jó ez az egész.
Az egyik legkézenfekvőbb és legigazabb válasz az, hogy a matematikus nem tesz fel, és nem is válaszol ilyen kérdésre, ugyanúgy, ahogy a festő sem nagyon gondolkodik azon, hogy mire is jó a festészet, vagy a zenész sem elmélkedik arról, hogy mire való a muzsika.

Érdemes az érdeklődő diáknak ezt a feleletet adni, de azután hasznos lehet az, ha olyan példákat is mutatunk, amelyekből kitűnik, hogy a komplex számok már a matematikán belül is használhatók problémamegoldásra.

Annak köszönhetően, hogy az euklideszi sík vektorainak halmaza és a komplex számok halmaza izomorfak (létesíthető közöttük művelettartó, kölcsönösen egyértelmű ráképezés), geometriai problémák megoldására is használhatunk komplex számokat alkalmazó eszközöket.

Ebben a dolgozatban olyan feladatokat gyűjtöttünk össze, amelyek megoldhatók a fent említett módszerekkel is. Minden problémához egy lehetséges megoldást is csatoltunk.
Hangsúlyozzuk, hogy nem gondoljuk, hogy így kell megoldani ezeket a feladatokat, hanem csak azt, hogy így is lehet. Senkit sem kívánunk rábeszélni az itteni megoldási módokra, csak egy-egy lehetőséget szeretnénk felvillantani.