• Educatio Kht.
• Elérhetőségek
• OFIK
• Impresszum
• Médiaajánlat
• Webmester

Ruletták készítése az Euklides segítségével

Most induló cikksorozatunkban bemutatunk néhány nevezetes rulettát, és azok megjelenítését az Euklides program segítségével. A téma ugyan nem szerepel a közoktatás tananyagában, módszertani szempontból mégis hasznosnak és érdekesnek tartjuk.

Rulettát úgy kapunk, hogy egy rögzített g1 görbe mentén csúszásmentesen végiggördítünk egy g2 görbét, azaz bármely pillanatban a két görbe érintkezési pontjában a két görbe érintője megegyezik, továbbá a g1 görbe bármely két, P1 és P2 pontjára, valamint a g2 görbén nekik megfelelő P1' és P2' pontokra teljesül, hogy a P1P2 ív hossza megegyezik a P1'P2' ív hosszával. Ha a g1 görbe egyenes, a g2 pedig kör, akkor cikloist kapunk eredményül (1. ábra). Cikloist ír le a mozgó kerékpár kerekének egy rögzített pontja is.

Most induló cikksorozatunkban bemutatunk néhány nevezetes rulettát, valamint azok szemléltetési lehetőségeit az Euklides program segítségével. Vizsgálódásaink a mozgási geometria témakörébe tartoznak, amely ugyan nem szerepel a közoktatás tananyagában, mégis több szempontból hasznos foglalkozni ezekkel a görbékkel. A fogalom kialakulását különböző műszaki problémák motiválták. A ruletták általában nagyon szép, esztétikus görbék, és látványos animációkat készíthetünk megjelenítésükre, ezért módszertani szempontból alkalmasak a tanulók érdeklődésének felkeltésére. Érdeklődő tanulók tanári irányítással (esetleg azt mellőzve) maguk is elkészíthetik ezeket az animációkat, ha megfelelő rutinnal rendelkeznek a választott geometriai szerkesztőprogram használatában. Ehhez kívánunk segítséget adni úgy, hogy részletesen ismertetjük a ciklois előállításának technikai lépéseit az Euklides program szemléletét követve. Természetesen nem szükséges minden tanulóval elkészíttetni a szerkesztést; ebben az esetben a letölthető mintaszerkesztés alapján is bemutathatjuk a cikloisokat. Ebben az esetben a szerkesztés fóliái (rétegei), a szerkesztési lépések visszajátszása, valamint az objektumokhoz tartozó megjegyzések nyújtanak segítséget a szerkesztés használatához. A megjegyzések láthatóvá tételéhez aktiválni kell a

ikont! A szerkesztés menetének lejátszását a

ikoncsoporttal lehet kezdeményezni.

A ciklois.euk fóliái

1. Adatok
Ezen a fólián felvettük a gördülő kör r sugarát, valamint egy AB szakaszt, amelyen a kört gördítjük. Ebben az esetben ugyan nem cikloist, hanem annak csak egy darabját származtatjuk, de ezt a "csalást" kénytelenek vagyunk megtenni, ha azt akarjuk, hogy a szerkesztés helyesen működjön! Javasoljuk annak vizsgálatát, hogy mi történik, ha egyenest veszünk fel szakasz helyett! Az animáció elkészítéséhez szükségünk van egy mozgó pontra, amely ebben az esetben praktikusan a kör és az egyenes (szakasz) aktuális érintési pontja. Ezt az érintési pontot, amelyet a szerkesztésben P-vel jelöltünk, az S bázispontnak a szakaszra vonatkozó vetítésével (a Transzformációk ikoncsoporton belül található

ikonnal) szerkesztettük meg. Ezután megszerkesztettük a kör aktuális középpontját (O). A szerkesztés segédvonalait elrejtettük; láthatóvá tételükhöz a SHIFT billentyű, valamint a

ikon együttes használata szükséges. Ezzel el is készítettük az animációt, amelyet meg is tekinthetünk (Animáció/Animáció beállítása), ha az S pontot végigfuttatjuk az AB szakaszon.

2. Ciklois
A fenti animációban csak egy kör "fut" végig az AB szakaszon, a gördülés még nem látható. A gördülés kezdetén a kör az A pontban érinti az AB szakaszt, vagyis ekkor A=P. Ha a gördülés csúszásmentes, és a kör egy későbbi helyzetében a kezdeti érintési pont (A) aktuális helyzetét P' jelöli, akkor szükségképpen AP=PP', ahol P jelöli az aktuális érintési pontot, PP' pedig a kör megfelelő ívének hosszát (2. ábra). Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy a kezdeti A érintési pont annyit fordul el a körön, amennyit az érintési pont vízszintesen halad az AB szakaszon.

A P' pont szerkesztéséhez előbb az AP szakaszt, majd a kör OP sugarát szerkesztettük meg. Az Euklides beépített utasításként tartalmazza körív szerkesztését, ha ismerjük középpontját, a kör sugarát, a körív hosszát, valamint egyik határoló sugarának irányát. Ezt a szolgáltatást a Körívek utasításcsoporton belül a

ikonnal érhetjük el. A megfelelő paraméterek kijelölése után megtörténik a PP' körív szerkesztése. (Itt válik világossá, hogy a szerkesztés elején miért kellett egyenes helyett az AB szakaszt felvennünk! Az ismertetett utasítás ugyanis előjelesen méri fel az adott szakaszt a körre.) A körív szerkesztésével a program még nem szerkesztette meg automatikusan a P' pontot. Ennek szerkesztéséhez a Transzformációk ikonon keresztül elérhető forgatást kell alkalmaznunk az

ikonnal. Előbb az elforgatni kívánt pontra (P), majd a forgatás középpontjára (O), és végül a forgatás szögére (az imént szerkesztett körív) kell rámutatnunk. Itt jegyezzük meg, hogy az Euklides a szögeket körívként kezeli!
A ciklois megjelenítéséhez a P' pont nyomvonalát kell kirajzoltatni. Ezt a

ikonnal tehetjük meg; először a futópontra (S), majd arra az alakzatra, amelyen fut (AB szakasz), és végül a P' pontra kell kattintani (ennek a nyomvonalára vagyunk kíváncsiak). Látványosabbá tehetjük az ábrát, ha berajzoljuk a gördülő kerék néhány "küllőjét" is (3. ábra). Állítsunk be animációt, amelyben az S pontot futtatjuk az AB szakaszon.

3. Hurkolt, nyújtott cikloisok
További cikloisokat is megjeleníthetünk, ha nem kötjük ki, hogy OP'=r teljesüljön. Ezen a fólián felvettünk egy R szakaszt, és megszerkesztettük az OP' félegyenes azon P" pontját, amelyre OP"=R teljesül (az egyszerű részletszerkesztéseket elrejtettük). A P" pont a körrel együtt gördül, és e mozgás során hurkolt (4. ábra), vagy nyújtott cikloist ír le, attól függően, hogy R > r, vagy R < r teljesül.

4. Roberval görbéje
Matematikai szempontból jelentős a ciklois Roberval görbéje, amit a következő módon származtathatunk; vetítsük merőlegesen a ciklois P' pontját az OP egyenesre. A kapott T pont által leírt alakzat a Roberval-görbe. A görbe segítségével "könnyen" kiszámolhatjuk a ciklois görbe alatti területét.

Ajánlott irodalom:
Reimann István: A geometria és határterületei, Gondolat, Budapest, 1986
Urbán Eszter: Érdekes görbék I., Matematika Tanári Kincsestár 11. kiegészítő kötet, 2004. március

Weboldalak:
http://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/2000/cikloisok/#Ciklois
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cycloid.html
http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/0/parametric.5/

Árki Tamás

Webmester | Impresszum | Médiaajánlat