Mit kezdjünk egy szabályos háromszög felével?

A diákoknak kevésbé tűnik fel, de a tanítási gyakorlattal rendelkező tanároknak igen: egy-egy versenyfeladat évről-évre újra felbukkan, vagy egy egészen más feladat megoldása ugyanazt az alapötletet igényli. Ilyen feladatokat gyűjtöttünk össze (6. osztálytól).

Az alapötlet nagyon egyszerű: előismeretként a háromszög belső szögeire vonatkozó összefüggést és a tengelyes tükrözést igényli. Ezek tanítása után, akár 6. osztálytól egészen a nevezetes szögek szögfüggvényeire vonatkozó összefüggések bizonyításáig alkalmazhatjuk.
Ha egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög 30°, akkor az átfogó kétszerese a rövidebb befogónak.

Bizonyítás:
Mivel derékszögű háromszögben a hegyesszögek összege 90°, a másik hegyesszög 60°. Tükrözzük a háromszöget a hosszabb (BC) befogóra! A tükrözés tulajdonságai miatt - bármely szög egybevágó a képével - az ABA' háromszög minden szöge 60°, azaz szabályos, így - ismét a tükrözés tulajdonságai miatt - minden oldala, így az AB is kétszer olyan hosszú, mint az AC - ezzel bizonyítottuk az állítást!

Erre az egyszerű összefüggésre az elmúlt években sok versenyfeladatot alapoztak. A felsorolás korántsem teljes, és a versenyt is csak néhány esetben nevezzük meg, ugyanis egyáltalán nem biztos, hogy azon a versenyen tűzték ki először, és ma már gyakorlatilag eldönthetetlen, hogy mikor és hol jelent meg először.
Néhány feladat egy-egy lehetséges megoldását megadjuk, és várjuk a többi feladattal kapcsolatos észrevételeket.

Feladatok:
1.
Számoljuk ki egy paralelogramma területét, ha a 20 cm hosszú oldala a 30 cm hosszú átlóval 30°-os szöget zár be! (7. osztályos matematika tankönyv, Tankönyvkiadó, 1980)
Megoldás

2.
Az ABC háromszögben a C csúcsnál derékszög, az A csúcsnál pedig 30°-os szög van. Milyen hosszú az AC oldal, ha a C csúcs az AB oldaltól 5 cm távolságra van?
(Varga Tamás Mat. Verseny I. forduló, 7. osztály 4. feladat, 1995.)
Megoldás

3.
Az ABC háromszögben AC=BC. Az A pont BC oldaltól való távolsága éppen fele a BC szakasz hosszának. Mekkorák a háromszög szögei?
(Varga Tamás Mat. Verseny I. forduló, 7. osztály 2. feladat, 1996.)
Megoldás

4.
Az ABCD téglalap A csúcsából húzott, az AB oldallal 60°-os szöget bezáró egyenes a BC oldal - C ponton túli - meghosszabbítását az E pontban metszi. Az EDC szög 30°-os, a BC oldal hossza 4 egység. Milyen hosszú az EB szakasz?
(KMBK XXI. Kalmár László Versenye I. forduló, 8. osztály 3. feladat, 1992.)
Megoldás

5.
Az ABC egyenlőszárú háromszögben ABC szög = CAB szög =80°. Az AC száron egy P, a BC száron egy Q pontot vettünk fel úgy, hogy PBQ szög = 30° és QAP szög = 40°. Mekkorák a QPB és PQA szögek?
(KMBK XXV. Kalmár László Versenye I. forduló, 8. osztály 2. feladat, 1996.)
6.
Egy 60°-os szög mindkét szárát érinti az r sugarú kör. Mekkora annak a körnek a sugara, amely érinti mindkét szögszárat és az r sugarú kört is? (Hány ilyen kör van?)
7.
Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 30°. Igazoljuk, hogy a beírható kör középpontja a derékszögű csúcstól és az átfogó felezőpontjától egyenlő távolságra van!
8.
Mekkora szöget zárnak be a téglalap átlói, ha az egyik átló felezőmerőlegese az egyik oldalt az egyik harmadoló pontjában metszi?
9.
Az ABC háromszögben a BAC szög = 30°, és tudjuk, hogy az ABC és BCA szögek hegyesszögek. Jelölje Fb az AC, Fc az AB oldal felezőpontját, valamint Tb a B csúcsból, Tc a C csúcsból kiinduló magasságok talppontját. Igazoljuk, hogy a TcFb és a FcTb szakaszok merőlegesek egymásra!
10.
Mekkora az ABC háromszögben az A csúcsnál levő α szög, ha a szögfelezője áthalad a c oldal felezőmerőlegesének és a B csúcsból kiinduló magasságvonalának a metszéspontján?
11.
Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei, ha az egyik csúcsából kiinduló szögfelező kétszer olyan hosszú, mint az ugyanezen csúcsból kiinduló magasság?