Hipocikloisok készítése az Euklides segítségével

Folytatjuk a rulettákat bemutató cikksorozatunkat. A cikloisok tárgyalása után ezúttal a hipociklois-készítés technikai fortélyaival ismerkedhetnek meg az olvasóink.

Hipocikloist úgy kapunk, hogy egy k1 kör mentén belülről csúszásmentesen végiggördítünk egy k2 kört, azaz bármely pillanatban a két kör érinti egymást, továbbá a k1 kör bármely két, P1 és P2 pontjára, valamint a mozgó k2 körön nekik megfelelő P1' és P1' pontokra teljesül, hogy a P1P2 körív hossza megegyezik a P1'P2' körív hosszával. A hipocikloisok ábrázolását jelentősen megkönnyítik a geometriai szerkesztőprogramok. Ehhez kívánunk segítséget adni úgy, hogy részletesen ismertetjük a hipociklois előállításának technikai lépéseit az EUKLIDES program szemléletét követve. Természetesen nem szükséges minden tanulóval elkészíttetni a szerkesztést; ebben az esetben a letölthető mintaszerkesztés alapján is bemutathatjuk a hipocikloisokat. A szerkesztés fóliái (rétegei), a szerkesztési lépések visszajátszása, valamint az objektumokhoz tartozó megjegyzések nyújtanak segítséget a szerkesztés használatához. A megjegyzések láthatóvá tételéhez aktiválni kell a

ikont! A szerkesztés menetének lejátszását a

ikoncsoporttal lehet kezdeményezni. Az alábbi leírásban olyan hipocikloist készítünk, amelynél a k1 és k2 körök sugarának aránya 3.

A hipociklois.euk fóliái

1. Adatok
Ezen a fólián elkészítettük a gördülő mozgás animációját. Első lépésként felvettük a k2 gördülő kör r sugarát, amelyet a megfelelő szakasz végpontjainak mozgatásával változtathatunk. Ezek után megszerkesztettük a k1 kört, valamint a két kör kezdeti érintési pontját, amelyet A-val jelöltünk. Az A pont megszerkesztéshez a következő technikai fogást alkalmaztuk; felvettünk egy e segéd félegyenest, amely a k1 kör O középpontjából indul, majd O középponttal és r sugárral kört szerkesztettünk. E segédkör, valamint az e félegyenes metszéspontjára tükröztük az O pontot, majd a tükörképként keletkező pontra ismét tükröztük az előbbi metszéspontot. Az így előálló A pont illeszkedik az e félegyenesre, továbbá az AO távolság éppen háromszorosa az r szakasz hosszának. Ez a tény biztosítja, hogy a k1 és k2 körök sugarának aránya 3 legyen. A középpontos tükrözést a Transzformációk ikoncsoporton belül érhetjük el. Megjegyezzük, hogy a program szemlélete alapján előbb mindig a transzformálni kívánt pontra, majd a transzformációt meghatározó alakzatra (pl. középpont, vagy tükörtengely) kell rámutatni.

A középpontos tükrözés ikonja
A középpontos tükrözés ikonja
Az animáció elkészítéséhez egy M bázispontot vetítettünk a k1 körre a Transzformációk ikoncsoporton belül található

ikon (Vetítés) segítségével. A vetítés eredményeként keletkező P pont végigfut a k1 körön, miközben az M pontot mozgatjuk e kör mentén. A gördülő k2 kör aktuális Q középpontját a P középpontú r sugarú kör metszi ki az OP szakaszból. Az animáció megtekintéséhez az M pontot kell futtatni a k1 körvonalon (Animáció/Animáció beállítása menüpont).

2. Hipociklois-Forgatás
A ruletták definíciója alapján a hipociklois aktuális P' pontja úgy helyezkedik el a k2 körvonalon, hogy a k2 körön mért PP' körív hossza megegyezik a (k1 körvonalon mért) PA körív hosszával. Mivel a k1 és k2 körök sugarának aránya 3, ezért a PP', valamint a PA körívekhez tartozó középponti szögek aránya is 3. Ez lehetőséget biztosít a P' pont forgatáson alapuló szerkesztésére; a P' pontot úgy kapjuk, hogy a P pontot a Q pont körül háromszor akkora szöggel forgatjuk el, mint a POA szög.
Az EUKLIDES programban forgatásra a Transzformációk ikoncsoporton keresztül elérhető

ikon használható. Ismét hangsúlyozzuk, hogy a programban a forgatást meghatározó szöget körívként kell felvennünk. Ezért előbb megszerkesztettük a PA körívet a

(Körív megadása középponttal, sugárral és irányokkal) ikonnal, majd elforgattuk a P pontot a Q pont körül a szerkesztett szöggel. A forgatást kétszer ismételtük a kapott képpontra. Az ismétléshez jól használható a

Transzformáció ismétlése) ikon, amely akkor alkalmazható, ha ugyanazt a transzformációt egymás után többször akarjuk elvégezni. Ebben az esetben nem szükséges a transzformációt meghatározó objektumot (ebben az esetben a forgatás középpontját) minden esetben megmutatni, pusztán a transzformálni kívánt pontokat kell megjelölni.
A szerkesztett P' pont hipocikloist ír le, miközben az M pont végigfut a k1 körvonalon. A hipocikloist megjeleníthető, ha a

(Nyomvonal) ikonra kattintunk.

Hipociklois
Hipociklois
A hipociklois ábrázolásának egy másik lehetséges módja, ha a futó animáció fázisait egyidejűleg jelenítjük meg. A következő ábra, amelyen a segédvonalakat elrejtettük, ezt mutatja.

A fázisok egyidejű megjelenítése
A fázisok egyidejű megjelenítése
3. Hipociklois-Tükrözés
Az előző pontban ismertetett módszerrel sikerült ugyan megjeleníteni a hipocikloist, de az ábra és a szerkesztés alaposabb tanulmányozásával felfedezhető annak kisebb "szépséghibája", ugyanis a P' pontot egy "mozgó kar" köti össze az A ponttal, ami kiválóan megfigyelhető az elkészült animációban is. Ennek oka a programban keresendő, és kis "bűvészkedéssel" kikerülhető.
Amikor a P pontot elforgatjuk a Q pont körül a POA szöggel, akkor a képként keletkező pont illeszkedik a k2 körre, valamint a Q kezdőpontú, e-vel párhuzamos, a szerkesztésben e'-vel jelölt félegyenesre. Ezen a fólián az első elforgatott pontot (az alábbi ábrán P1 jelöli) ezzel a módszerrel szerkesztettük meg. A P1 pontot a második forgatás olyan P2 pontba viszi át, amely megszerkeszthető a P pontnak az e' félegyenes tartóegyenesére vonatkozó tükörképeként is. Megjegyezzük, hogy az EUKLIDES programban a tengelyes tükrözés tengelye nemcsak egyenes, hanem félegyenes is lehet. A hipociklois P' pontját végül a P1 pont QP2 egyenesre vonatkozó tükörképeként szerkeszthetjük meg.

A korrigált hipociklois
A korrigált hipociklois
Megjegyezzük, hogy rovatunk olvasói többször találkozhattak már a fent ismertetett, úgynevezett háromágú hipocikloissal. Az ilyen görbék egyik legszebb előfordulását az elemi geometriában a Simson-egyeneseknél találjuk. Megmutatható, hogy a Simson-egyenesek serege ilyen hipocikloist burkol.
Természetesen sokféle hipociklois készíthető, attól függően, hogy a k1 és a k2 körök sugara hogyan aránylik egymáshoz. Érdeklődő olvasóinknak javasoljuk, hogy készítsenek a fentihez hasonló szerkesztést, például négyágú hipociklois szemléltetésére!


Ajánlott irodalom:

Reimann István: A geometria és határterületei, Gondolat, Budapest, 1986

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Hypocycloids.shtml
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/roulettes/roulettes.html
http://curvebank.calstatela.edu/cycloidmaple/cycloid.htm

Árki Tamás