A közepek egy újabb szemléltetése

Számos korábbi írásunkban foglalkoztunk már a közepek közti egyenlőtlenségekkel, illetve azok szemléltetési lehetőségeivel. Ezúttal egy újabb geometriai ábrát mutatunk, amelyen az összes (középiskolában előforduló) közép szerepel.

Az alábbi ábrán felvettük az AB = a, illetve a BC = b hosszúságú szakaszokat úgy, hogy az A, B és C pontok egy egyenesre illeszkedjenek. Az ábrán D jelöli a B pontban az AC egyenesre emelt merőleges egyenes, valamint az AC átmérőjű Thalész-kör metszéspontját. Ekkor könnyen végiggondolható, hogy

valamint

A Pitagorasz-tétel egyszerű alkalmazásával kiszámolható, hogy

Az ábrán EB ║ DO, így könnyen végiggondolható (pl. a szögek egyenlősége alapján), hogy EBD ~ BDO, amiből következik, hogy

azaz

Végül az ábrán

Ismét a Pitagorasz-tétel egyszerű alkalmazásával számolható, hogy

A kapott eredményeinket összegezve láthatjuk, hogy az a és b szakaszok
• harmonikus közepe EB;
• mértani közepe DB;
• számtani közepe DO;
• négyzetes közepe FO.

Az ábráról jól leolvashatók a fenti közepek közötti egyenlőtlenségek is. A letölthető EUKLIDES-szerkesztésben az ábra meg is mozdítható, így pl. azt is megvizsgálhatjuk, hogy mely a és b szakaszok esetén egyeznek meg a fenti közepek egymással.

Letölthető EUKLIDES-szerkesztés

Árki Tamás