Emelt szintű érettségi vizsga matematikából (2005.) VII.

Egy újabb emelt szintű érettségi vizsgatétel vázlatát adjuk közre.
A közöltek nem tekinthetők hivatalosnak, csak a szerző egyéni elképzeléseit tükrözik a tételről!

2. Számhalmazok, halmazok számossága

A címben jelzett téma rendkívül nagy és összetett. Ebből következően az általunk említetendő tételek egy részének bizonyításával foglalkozunk csak ebben az írásban.

Tekintettel arra, hogy a vizsgázóknak 15 - 20 perc áll rendelkezésükre arra, hogy kifejtsék a vele kapcsolatos gondolataikat, mindenképpen válogatniuk kell az anyagból.

Semmiképpen sem szeretnénk azt a látszatot kelteni, hogy tudjuk azt, mi a célszerű vagy elvárt válogatás módja, ezért ezt a tételt három részre bontva dolgozzuk fel.
Az első, bevezető rész esetleg mindenki számára elfogatható lesz. A másik kettő pedig, két matematikai tudományágnak, a halmazelméletnek és az algebrának megfelelő továbblépést tartalmaz.

Az, hogy a vizsgázó ezek közül melyiket választja, vagy esetleg mindegyikből szemezget egy kicsit, az önálló döntése lehet.

Bevezető

Egy fontos dologra még fel kell hívni a figyelmet! A halmazelmélet axiomatikus felépítése a - történelem során fellépő - paradoxonok kezelése miatt vált szükségszerűvé.
Ennek köszönhetően tény, hogy az összes halmazok halmaza nem létezik. Ebből következően a tétel tárgyalása során csínján kell bánni az olyan fogalmakkal, mint a művelet, reláció, . . . , stb., amelyek halmazokon értelmezett hozzárendelések!(http://hu.wikipedia.org/wiki/Halmazelm%C3%A9let)


Definíciók:

1. Ekvivalens halmazok
Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha létezik közöttük bijekció (kölcsönösen egyértelmű ráképezés).
(http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/grafelmelet/fogalmak/bijekcio.htm)

2. Véges halmaz
Egy halmaz véges, ha nem ekvivalens egyetlen valódi részhalmazával sem.

3. Végtelen halmaz
Egy halmaz végtelen, ha nem véges.

4. Halmazok számossága
Minden halmazhoz rendelünk egy számosságot oly módon, hogy az ekvivalens halmazok számossága egyenlő, és a nem ekvivalens halmazok számossága különböző.

5. Természetes számok
A véges halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.
(http://www.geier.hu/Peano/Peano2.htm)

6. Pozitív egész számok
A természetes számok az üreshalmaz számossága kivételével.

7. Természetes számok összege
Legyen n és m két természetes szám. Legyenek N és M olyan diszjunkt halmazok , melyekre igaz, hogy az M számossága m, és az N számossága n. Az m+n a M és N halmazok egyesítésének a számossága.

8. Természetes számok szorzata
Legyen n és m két természetes szám. Legyenek N és M olyan halmazok, melyekre igaz, hogy az M számossága m, és az N számossága n. Az mn a M és N halmazok direktszorzatának a számossága.

9. Megszámlálhatóan végtelen halmaz
Azokat halmazokat, amelyek ekvivalensek a természetes számok halmazával, megszámlálhatóan végtelen halmazoknak nevezzük.
(http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/halmaz99/alef0.htm)

Tételek:

1. A halmazok ekvivalenciája reflexív, tranzitív és szimmetrikus.
(http://home.fazekas.hu/~lsuranyi/BJ/Ekvivalencia.htm)
Bizonyítás:
a) Alkalmazzuk a függvényt, ami egy halmaz minden elemének önmagát felelteti meg. Ez nyilvánvalóan bijekció, ezért a halmaz ekvivalens önmagával.

b)Ha két halmaz, A és B, ekvivalens, akkor létezik A->B bijekció. Tekintsük ennek inverzét, ez B->A bijekció. Ez azt jelenti, hogy B ekvivalens A-val, teljesül a szimmetrikusság feltétele.

c)Ha két halmaz, A és B, ekvivalens, akkor létezik A->B bijekció. Ha két halmaz, B és C, ekvivalens, akkor létezik B->C bijekció. Tekintsük e két bijekció szorzatát, ez nyilvánvalóan A->C bijekció. Teljesül a tranzitivitás.

2. A természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve.
A bizonyítás a definíciók közvetlen alkalmazásával történhet.

3. A természetes számok halmazán az összeadás és a szorzás kommutatív és asszociatív, és a szorzás az összeadásra nézve disztributív.
(Műveketi tulajdonságok)
A bizonyítások a definíciók közvetlen alkalmazásával és a halmazokkal végzett műveletek tulajdonságainak felhasználásával történhetnek.

4. A természetes számok halmaza végtelen halmaz
(http://www.sulinet.hu/matek/ugyanannyi/szoveg.htm)
Bizonyítás:
A pozitív egész számok halmaza valódi részhalmaza a természetes számok halmazának. Tekintsük azt a függvényt, aminek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, képhalmaza a pozitív egész számok halmaza, és a hozzárendelési szabálya az, hogy minden halmaz számossághoz hozzárendeli a halmaz és egy vele közös rész nélküli egyelemű halmaz egyesítésének a számosságát.
Ez a függvény bijekció, tehát a pozitív egész számok halmaza és a természetes számok halmaza ekvivalens.