Egy szakköri óra tapasztalatai

A 9. évfolyamon foglalkozunk ugyan függvényekkel, de olyan "érdekességekre", mint az egész- és a törtrész, nem nagyon jut idő. Röviden bemutatunk egy lehetséges utat arra, hogy e függvények tanítását számítógéppel miként lehet" izgalmassá" tenni.

A függvénytan alapjaival való ismerkedés során alaposan körbejárjuk, hogy milyen lépésekben történik az

függvények ábrázolása az x → f (x) függvény grafikonja ismeretében. Ha bemutatjuk az egészrész- és törtrész függvényeket, akkor teljesen természetes módon vetődhet fel a diákokban, hogy hogyan kell ábrázolni az x → [ f (x) ] , illetve az x → { f (x) } függvényeket. Erre kerestük a választ az Olvasóink előtt valószínűleg nem ismeretlen GrafEq program segítségével.
(Technikai okokból a "talpas" nyíl helyett a szövegben a → jelet használjuk!)
A diákok a következő feladatokat kapták:

1. példa
Ábrázoljuk a program segítségével közös koordinátarendszerben az

függvényeket (1. ábra)! Mely pontokban van szakadása a g függvénynek? A szakadási pontokban "milyen irányból" folytonos a függvény?

1. ábra
1. ábra
2. példa
A kérdések megválaszolása után ugyanezeket a feladatokat kapták az

függvényekkel (2. ábra)! . A tapasztalatok alapján a diákok már önállóan is meg tudták fogalmazni saját szavaikkal, hogy az x → [ f (x) ] függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy az x → f (x) függvény grafikonját az y-tengely mentén az egész koordinátájú pontokban az x-tengellyel párhuzamos egyenesekkel "felszeleteljük", majd a szomszédos szeletelő egyenesek metszéspontjai közötti intervallumon az "alacsonyabban" fekvő metszéspont ordinátáját vesszük.

2. ábra
2. ábra
3. példa
Pihentetésképp a következő feladat az

2. ábra
2. ábra
függvények ábrázolása volt (3. ábra). Az ábrával kapcsolatban felmerült, hogy az f függvénynek mely pontokban van szakadása; ezeken a helyeken milyen típusú folytonosságról beszélhetünk, továbbá milyen lineáris hozzárendelési szabállyal értelmezhető az f függvény az egyes intervallumokon?

3. ábra
3. ábra
4. példa
A fenti példák után a törtrész függvényt tanulmányoztuk ({ x } = x - [ x ]). A feladat, valamint a hozzá tartozó kérdések ugyanazok voltak, mint az előző példákban (4.-5. ábra).

4. ábra
4. ábra

Az f(x) = { x² } függvény grafikonja

5. ábra
5. ábra

Az f(x) = { √x } függvény grafikonja



A kapott példák alapján a diákok már rutinosan fogalmazták meg sejtéseiket: az x → { f(x) } függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy az x → f(x) függvény grafikonját az y-tengely mentén "felszeleteljük", majd a szeletelő egyenesek közti részeket eltlojuk az x-tengelyhez. Eredményeinket úgy is megfogalmaztuk, hogy az x → { f(x) } függvény vizsgálatával lehetőség nyílik az f függvény grafikonjának "távoli részeit" megvizsgálni (a tanulócsoport még nem rendelkezett az analízis alapfogalmaival).

5. példa
Végül még egy példát megvizsgáltunk. Arra a kérdésre kerestük a választ, hogy miként viselkedik az f(x) = 1/x függvény az origó környékén. Ehhez ábrázoltuk az x → { 1/x } függvényt (6. ábra). A kapott ábrát nagyítottuk, és azt tapasztaltuk, hogy a nagyítás során az ábra "teljesen besűrűsödik", amiből megfogalmaztuk, hogy a függvény egyre kisebb intervallumokon egyre nagyobb ugrásokkal rendelkezik. A példa kiválóan illusztrálja a számítógépes ábrázolás korlátait.

6. ábra
6. ábra

Az f (x) = {1/x } függvény a 0 környezetében




Hivatkozások

Letölthető GrafEq állományok (tömörítve)

A GrafEQ program letöltése

A középiskolai matematikaoktatásbhan jól használható három program

A GrafEQ programról

Árki Tamás