Véges halmaz részhalmazainak száma - teljes indukció

Egy nevezetes halmazelméleti problémát alkalmazhatunk arra, hogy egy nevezetes bizonyítási módot megismertessünk a tanítványainkkal.

A halmazelmélet alapjainak tanítása a legtöbb középiskolai tanterv szerint a 9. osztály elején történik. Az alapfogalmak tanítása után a részhalmaz fogalmának tárgyalása következik.
A definíció megértetéséhez, elmélyítéséhez a gyerekek kaphatják feladatul, hogy adják meg konkrét halmazok összes részhalmazát.

A munka közben rájöhetnek arra, hogy a részhalmazok száma a halmaz elemeinek számától függ.
Ekkor a kapott eredményeket táblázatba foglalhatjuk:

Ez alapján már sokan meg tudják fogalmazni a sejtésüket, az n elemű halmaz részhalmazainak száma a 2-nek n. hatványa.
Érdemes felvetni azt a kérdést, hogy készen vagyunk-e, vagy talán még van teendőnk.
A sokéves matematikatanulást átvészelt diákok vágják a választ: az állítást bizonyítani kell!
Bizonyára lesznek olyanok is, akik már bizonyítást szeretnének mondani. Többségük azt a igazolási módot választaná, ami az alábbi oldalakon is megtalálható:
• http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/kombinatorika/reszhalm.htm
• http://www.sulinet.hu/tart/cikk/ag/0/25004/1

Ezen a ponton léphetünk tovább úgy is, hogy elterelő hadműveletként felvetjük azt, hogy miért van szükség a bizonyításra, hiszen több példán láttuk, hogy teljesül az állítás. (Természetesen a bizonyítani akaróknak később teret kell engedni, nem szabad, hogy a szereplési vágyuk kielégítetlen maradjon!)

Az elterelésre azért lehet szükség, mert így eljuthatunk az indukció fogalmához, és annak tisztázásához, hogy ez miért szerepel több tudomány eszköztárában, és miért nem felel meg ez nekünk a matematikában.

Jó lenne, ha alkalmazhatnánk ezt a módszert a matematikában is? - kérdezhetjük ezután.
Tanítványaink között lesznek olyanok, akik erre a kérdésre határozott igennel felelnek, hiszen olyan gyönyörű sejtéshez jutottak, és később is ily módon szeretnék hasznosítani a felfedezéseiket.

Ekkor már világos a cél! Meg kell javítani az indukciót, olyanná kell tenni, hogy megfeleljen a matematika szigorú elvárásainak! Ki kell bővíteni, teljessé kell tenni!

Most már csak azt kell kitalálni, mi teszi teljes indukcióvá a teljes indukciót! Kemény rávezető munkával elérhetjük, hogy a diákok jöjjenek rá arra, hogy azt kell megmutatni, ha valamilyen pozitív egész számra igaz az állítás, akkor igaz a következőre is.

Következhet ezután a tétel teljes indukcióval történő igazolása.

Hangsúlyozzuk, hogy ebben az írásban egy lehetséges utat mutattunk be, ami egy tanulócsoportban eredményesnek bizonyult. Nem állítjuk, hogy minden osztályban minden alkalommal ez be fog következni.

Tarcsay Tamás