Egy fórumról

Az e-learning rendszerek terjedőben vannak a hazai oktatásban is. Itt és most egy alkalmazást mutatunk be.

Az egyik kilencedik osztályos csoportban, a halmazelmélet alapjainak tanítása közben bebizonyítottuk a véges halmaz részhalmazainak számára vonatkozó tételt.

Megállapítottuk azt is, hogy a részhalmazok száma "jóval nagyobb", mint a halmaz elemszáma, hiszen a 2 adott kitevős hatványa "jóval nagyobb", mint a kitevő.

Ezek után fórumot indítottam az iskolánk e-learning rendszerén a következő kérdéssel:
Hány részhalmaza van a pozitív egész számok halmazának?

Azonnal érkezett a válasz több gyerektől, hogy ugyanannyi részhalmaz van, ahány pozitív egész szám, hiszen mindkettőnek a száma végtelen.
Ekkor felvetettem, hogy a "jóval nagyobb" tulajdonság itt nem érvényes?

Egy kislány a következőt válaszolta:
"Szerintem végtelen sok részhalmaza van, és az nem lehet kifogás, hogy a halmaz hatványhalmazának elemszámának mindig nagyobbnak kell lennie, mint a halmaz elemszámának, mivel a végtelenre legtöbbször nem alkalmazhatóak azok a törvények, amik a végesre."
Az látszik, hogy ő már tanult matematikát, mert tudatosult benne a véges és végtelen közötti különbség.

Ekkor megkérdeztem, hogy nagyon sok elemű halmazok esetében milyen módon tudnád eldönteni, hogy elemeik száma egyenlő-e vagy nem?

Egy fiú, aki ráérzett a bijekció létezésének szükségességére, azt írta, hogy "szerintem ugyanannyi részhalmaz van, mint amennyi eleme az eredeti halmaznak. Ezt a következőképpen bizonyítanám: Akárhányadik részhalmazhoz található egy elem az eredeti halmazban, tehát kölcsönösen egyértelmű megfeltetés hozható létre az egész számok halmaza és a részhalmazai között."

Alighogy hangot adtam a kétkedésemnek, már jött is a válasz:

"Keresgéltem kicsit az interneten a témával kapcsolatban, és a Google-ba beírva a hatványhalmaz kifejezést, a 10. találat adta a megoldást. http://www.math.klte.hu/~turjanyi/algebra_2004-05-1/a20401ix.doc
Az 5. oldalon ott van a bizonyítása annak, hogy bármely A halmaznak a P(A) hatványhalmazának a számossága nagyobb az A számosságánál. Tehát az előző hozzászólásomban tévedtem."

Tekintettel arra, hogy korábban megállapítottuk, hogy mindkét halmaz elemszáma végtelen, ekkor már elkerülhetetlenné vált, hogy megkérdezzem: Ezek szerint vannak különböző végtelenek?

Szinte azonnal jött is a válasz az előbbi fiútól:

"Vannak különböző végtelenek. Megint az interneten keresgéltem. Sajnos magyarul bármit írtam be a keresőbe, sehogyan sem akart kijönni egy rendes leírás sem a végtelenek fajtáiról, úgyhogy végül beírtam a "countable infinity" kifejezést, és ezt találtam: http://www.shu.edu/html/teaching/math/reals/infinity/countble.html
Elég jó leírás a halmazok számosságáról."

Itt azután gyorsan le is álltunk, hiszen már nagyon messzire jutottunk. Természetesen akkor, amikor már több tapasztalattal fognak rendelkezni a gyerekek, akkor majd vissza kell térni ide, és pontosítani kell a megállapításokat.

Megjegyzem még, hogy a vita állásáról mindig tájékoztattam az egész csoportot, így ők sem maradtak ki teljesen a dologból.

Tarcsay Tamás