Paradoxonok a matematikában

A paradoxonok feloldhatatlan ellentmondások. Egy olyan egzakt tudományban, mit a matematika ilyenek nem létezhetnek!

1.

      Egy ezred állomásozik a zord hegyek között, ahol közel s távol nincs senki ember fia a környéken. A közelgő nemzeti ünnep alkalmából a parancsnok a következő utasítást adja az ezrednél szolgáló egyetlen borbélynak:
Mindenkit borotváljon meg, aki nem maga borotválkozik, és senkit ne borotváljon meg, aki maga borotválkozik!

Mit tegyen magával a borbély, ha jó katonaként pontosan végre akarja hajtani a parancsot? Ha megborotválja magát, akkor megborotvált valakit, aki maga borotválkozik, ha nem borotválja meg magát, akkor nem borotvált meg valakit, aki nem maga borotválkozik.

Ez bizony egy paradoxon. (Ezredborbély antinómia)

2.

      Akhilleusz, a leggyorsabb görög, versenyt fut egy teknőssel. Olyan gyors és magabiztos, hogy egy kilométer előnyt ad a hüllőnek.
A verseny elindulása után t(1) idő Akhilleusznak eljut oda, ahol a teknős kezdett. Ezalatt az idő alatt azonban a teknős is haladt
Ezért aztán Akhilleusznak t(2) idő alatt el kell jutni oda, ahol a teknős a t(1) időpillanatban tartózkodott, ám ezalatt a teknős ismét halad egy kicsit, és még mindig vezet.
Ezért aztán Akhilleusznak t(3) idő alatt el kell jutni oda, ahol a teknős a t(2) időpillanatban tartózkodott, ám ezalatt a teknős ismét halad egy kicsit, és még mindig vezet.
És így tovább . . .

Ezek szerint, akármilyen gyorsan is ér Akhilleusz oda, ahol a teknős egy pillanattal korábban volt, amaz mindig egy kicsit előrébb lesz, így Akhilleusz sohasem fogja utolérni a teknőst.

Nyilvánvaló, hogy itt valami baj van, ez egy újabb paradoxon. (Zenon egyik paradoxona)

3.

      Legyen U az összes halmazok halmaza! (Ez eleget tesz a halmaztól elvárt legfontosabb feltételeknek: minden elemről egyértelműen eldönthető, hogy eleme-e vagy sem.)
Az U halmaz eleme önmagának, mert halmaz, és U az összes halmazok halmaza.
Az üres halmaz nem eleme önmagának, hiszen annak egyetlen elem sincs.
Ezek szerint vannak olyan halmazok, amelyek nem elemük önmaguknak, hívjuk őket rendes halmazoknak, az összes rendes halmazok halmaza legyen R!
Vannak olyan halmazok is, amelyek elemük önmaguknak, hívjuk őket rendetlen halmazoknak, az összes rendetlen halmazok halmaza legyen R’!
Milyen halmaz az R? Rendes vagy rendetlen?

 

Ha R rendes halmaz lenne, akkor eleme lenne az összes rendes halmazok halmazának, azaz R-nek. De akkor eleme lenne önmagának, tehát rendetlen lenne.

Ha R rendetlen halmaz lenne, akkor eleme lenne önmagának, az összes rendes halmazok halmazának,  tehát R  rendes lenne.

Itt egy újabb paradoxon (Russel paradoxon – tartalmazkodó halmazok antinómiája)

Az 1. paradoxon még talán egy kis mesének (is) tűnhet, de a 2. és 3. paradoxonról már senki sem állíthatja, hogy nem a matematika tárgykörébe tartozik. Azt is elmondhatjuk róluk, hogy a maguk idejében kellően felbolygatták e tudomány „állóvizét”.

Az Akhilleusz és a teknős paradoxona azt a kérdést vetette fel, hogy végtelen sok pozitív szám összege lehet-e egy pozitív szám. Ennek a kérdésnek a megválaszolása (is) vezetett el valós számsorok elméletének kialakulásához.

A másik két paradoxon másokkal együtt a „naiv” halmazelmélet határait feszegette. E paradoxonok feloldását a Halmazelmélet szigorú, axiomatikus tárgyalásmódja tette lehetővé.

A fenti példákból is látszik, hogy a paradoxonok megfogalmazódása segítette a matematika fejlődését.

Források:

1.      R. M. Sainsbury: Paradoxonok

2.      Raymond Smullyan:: Emlékek, történetek, paradoxonok

3. Székely J. Gábor: Paradoxonok a véletlen  matematikájában

Tarcsay Tamás