Mandelbrot-halmaz

A komplex számokról már több korábbi írásunk szólt. Ezeknek a számoknak látványos alkalmazása a Mandelbrot-halmaz. Legújabb cikkünk ezzel foglalkozik.

Ez a halmaz Benoit B. Mandelbrot, lengyel származású matematikusról, a megalkotójától kapta a nevét. (A képe e cikk ajánlója mellett látható.)

Hogyan építhető fel ez a halmaz?

A komplex számsíkon veszünk egy C pontot. Erre képezzük a következő sorozatot:

Ezzel az egyszerű rekurzióval definiált sorozatról be lehet bizonyítani, hogy bizonyos C számok választása esetében végtelenbe tart, vagy más C-k esetében pedig nullához tart. Más eset nem lehetséges.

A Mandelbrot-halmaznak azok és csak azok a C komplex számok az elemei, amelyek esetében a fenti sorozat nullához tart. Ábrázolás esetében ezeket általában feketére szokták festeni, míg a többi pontot attól függően, hogy "milyen gyorsan" tart a végtelenbe.