Az általános szögfüggvények

A hagyományos szögfüggvények definíciójában kitüntetett szerepe van a derékszögnek.
Az itt következő írás szögfüggvényei esetében ez nincs így.

Az általános szögfüggvények kiszámítása a TI-83 segítségével és alkalmazásuk az általános háromszög ismeretlen adatainak kiszámítására.


Az általános szögfüggvények definíciói

A hagyományos szögfüggvényeket derékszögű háromszögben szokás értelmezni, illetve az egységnyi sugarú kör segítségével, az értelmezést tetszőleges szögekre is ki lehet terjeszteni.
Felvetődik a kérdés, hogy tovább lehet-e általánosítani a szögfüggvényeket, azaz az általános háromszögben érdemes-e a derékszögű háromszöghöz hasonló módon szögfüggvényeket értelmezni?
Ebben az írásban megmutatjuk, hogy érdemes, bizonyos estekben ezek az általános szögfüggvények előnyösebben használhatók, mint egyéb tételek. Lássuk csak, miről is van szó!

1. ábra
1. ábra
Az általános háromszögben (lásd az 1. ábrát ), a szokásos jelöléseket használva és az alfát tekintve alapszögnek, a következő szögfüggvényeket értelmezhetjük:

Ha az alapszög, akkor - nyilvánvaló módon - visszakapjuk a hagyományos szögfüggvényeket.
Ez a definíció a hagyományos szögfüggvényeknél megismertekhez analóg módon kiterjeszthető:
Olyan [i, j] bázist választunk, amelyben │i│ = │j│= 1, valamint az i és j bázisvektorok hajlásszöge az alfát 180 fokra kiegészítő szög. Ebben a bázisban a gamma irányszögű egységvektor első koordinátája a gamma koszinusza, a második koordinátája a gamma szinusza. (Alfa nem lehet az egyenesszög egész számú többszöröse.)
A gamma tangensének és kotangensének definíciója is megfelelhet a hagyományos szögfüggvényeknél látottaknak, a szinusz és a koszinusz szögfüggvények hányadosa (koszinusz és a szinusz szögfüggvények hányadosa) a nevezők zérushelyei kivételével.
Annak vizsgálatát, hogy az általánosított szögfüggvényeknek milyen tulajdonságaik vannak (értékkészlet, zérushelyek, monotonitás, periodicitás stb.) olvasóinkra bízzuk.
Segítségként egy Euklides programmal készült fájlt mellékelünk.
A fenti definíciók segítségével könnyen bizonyíthatók a következő összefüggések:

Megfelelően felcserélve a szögeket még öt, a fentiekhez hasonló összefüggést tudunk felírni. (Természetesen csak azokban az esetekben igazak ezek az összefüggések, amikor a bennük szereplő kifejezések értelmezve vannak.)

Az általános szögfüggvények kiszámítása
A szinusztétel segítségével könnyen igazolható (háromszögben szereplő szögek esetében), hogy

De általánosságban ennél több is igaz :

Ez az összefüggés az alapszög változtatását teszi lehetővé:

A bizonyítások [1.] irodalomban megtalálhatók.

Lássunk egy példát!
Számítsuk ki a következő általános szögfüggvényértéket!

A fenti összefüggés segítségével:

A programozható számológépek, vagy a számítógépek segítségével egészen könnyen kiszámítható az értelmezési tartományon belüli tetszőleges szög, tetszőleges alapú szögfüggvény értéke.

Egy péda erre is:
A TI-83 számológép segítségével számítsuk ki az értékét!

A számológép bekapcsolása után, a [MODE] gomb segítségével beállítjuk az üzemmódot, úgy, hogy a gép fokban számoljon (Degree). Az összes többi esetben az első helyen feltüntetett lehetőségeket választjuk .
Az [Y=] függvénygomb lenyomása után, az Y1=sin(A + G) / sin (G ) , összefüggést gépeljük be, ahol A = alfa és G = gamma. A megfelelő szögértékeket a [STO->] gomb segítségével gépeljük be: 15 - > A , 75 -> G, majd az [ENTER]-t beütjük , az adatok véglegesítése céljából.
Végül a [VARS] gombbal ( VARS, Y-VARS, Function, Y1 ) előhívjuk az Y1 -et. Az -t beütve azt kapjuk, hogy 1,03527..., ami a

közelítő értéke.

Az általános szögfüggvények grafikonja is megadható grafikus kalkulátor vagy számítógép és az (1) összefüggések segítségével.

Alkalmazás

A továbbiakban vizsgáljuk meg az általános szögfüggvények, illetve a TI-83 alkalmazását az általános háromszög ismeretlen adatainak kiszámításánál!
Legyen adott három egymástól független adattal egy ABC háromszög a szokásos jelölésekkel (1. ábra)!
Tekintsük adottnak a következőket:

1. két oldal és az egyikkel szemközti szög: a, c és alfa ;
2. két (három) szög és egy oldal: alfa, gamma és c;
3. két oldal és az általuk közrezárt szög: a, b és gamma.

Mindhárom esetben számítsuk ki a hiányzó adatokat!

Az adatoktól függően kiválasztjuk a megfelelő általános szögfüggvényt, és innen az (1) összefüggések alkalmazásával megkaphatjuk a keresett adatokat.

Láthatjuk, hogy az általános szögfüggvények alkalmazásával helyettesíthetjük a szinusz- és a koszinusz- tétel alkalmazását.
Sőt! Mivel e két tételnek csak az általános háromszögben van értelme, az általános szögfüggvények viszont tetszőleges szögre értelmezettek, így ez utóbbiak általánosabb érvényűek.

Az általános szögfüggvények egy másik alkalmazása lehet a vektorok ferdeszögű koordinátarendszerben történő felbontásakor keletkezett kovariáns koordináták kiszámítása, megadása. Ennek részletezésétől itt eltekintünk, de azok az olvasóink, akik el szeretnének mélyedni az általánosított szögfüggvények elméletében, jól teszik, ha átgondolják az ebben rejlő lehetőségeket.

Végezetül úgy véljük, hogy az általános szögfüggvényeknek ott lenne a helyük az olyan általános alakú függvények mellett, mint a tört, hatvány, gyök, exponenciális, logaritmus stb.


Irodalom:

Inczeffy Szabolcs: A trigonometrikus függvények általános alakjai, in: A matematika tanítása, 1995.,III.évf./3. szám. [1.]

Inczeffy Szabolcs