Valószínűségszámítás és statisztika IV.

Magyar Zsolt tanár úr - a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány által támogatott - dolgozata alapján készült sorozatunk folytatódik.
Edddig a statisztikai adatok ábrázolásáról, a statisztikai közepekről és a középértékek "jóságának" mérőszámairól írtunk.
Most a valószínűségszámítás alapismereteinek tárgyalása következik.

Andrej Nyikolajevics Kolmogorov
Andrej Nyikolajevics Kolmogorov
A valószínűségszámítás, mint matematikai tudományág megjelenését a véletlen jelenségek matematikai vizsgálhatósága iránti igény idézte elő.
Természetes tehát, hogy mielőtt a valószínűségszámítás tárgyalásába fogunk, szót kell ejteni a véletlenről is. Az írásunk forrásául választott dolgozatban egy tanulságos gondolatmenet található, ajánljuk mindenkinek a figyelmébe.

A dolgozat gondolatmenetét követve felépítünk egy modellt, aztán megvizsgáljuk, hogy ez a modell mennyire jó.

Klasszikus valószínűségszámítási modell

A valószínűségszámításban használatos fogalmak:
- kísérlet
- kimenetel
- esemény
- lehetetlen esemény
- biztos esemény

Ha az olvasó ezeknek a fogalmaknak jelentésével és tartalmával nincs tisztában, érdemes utánanézni a dolgozatban.

Célszerűnek tűnik, hogy korábban elmlített, a leíró statisztikában szerepelt fogalmaknak (relatív gyakoriság, módusz, átlag, medián, szórás) valamiféle megfelelőt találjunk.

A relatív gyakoriság azt jelenti, hogy egy adott adathalmazban egy adat hányszor fordul elő. Ha a valószínűségről az a képünk van, hogy adott számú kísérletből az esemény bekövetkezéseinek száma arányos a bekövetkezésének valószínűségével, akkor a valószínűségre a relatív gyakoriságnak megfelelő értéket kell adnunk.

Pierre-Simon Laplace
Pierre-Simon Laplace
Ez vezet a Laplace-féle klasszikus modellhez, ami szerint egy esemény valószínűségét megkaphatjuk úgy, hogy a jó esetek számát elosztjuk az összes esetek számával.
Ügyelnünk kell arra, hogy az "összes esetek száma" olyan eseteket tartalmazzon, melyek bekövetkezése egyformán valószínű, ezek az úgynevezett elemi események.

Kis gondolkodással arra a következtetésre juthatunk, hogy ebben a modellben a biztos esemény valószínűsége 1, a lehetetlen eseményé pedig 0.

Annak eldöntése, hogy milyen események tekinthetők elemi eseményeknek, az nem könnyű dolog. Ennek módszeréről olvashatunk Magyar Zsolt tanár úr dolgozatában is.

A szerző tárgyalja a "három kocka" problémát, aminek tanulmányozásához egy korábbi írásunkban már szerepelt programot is ajánlhatunk.

Hasonlóan kiváló terep az elemi események előfordulásának vizsgálatára az úgynevezett kocka-póker játék. Ennek elemzése is szerepel a forrásul választott dolgozatban.
Aki gyakorlatban is tanulmányozni akarja ezt a játékot, az interneten több olyan oldalt találhat, ami ezt modellezi. Néhányat megemlítünk:
- http://pink.fpn.hu/_dwad_/frameset.php?path=http://pink.fpn.hu/jatek/kpoker/kockap.htm
- http://www.gyermekbarat.ngo.hu/games/dicepoker/hdicepoker.html
- http://www.origo.hu/szoftverbazis/palmpilot/epoc/yatzee.html
- http://www.jojatek.hu/

Az urna modell

A legtöbb véletlen esemény modellezésére alkalmas az úgynevezett urna-modell. Legyen egy adott esemény bekövetkezésének valószínűsége p=K/N. Tegyünk egy urnába K db fehér, és N - K db fekete golyót, és húzzunk ki egy golyót az urnából! Ekkor az esemény bekövetkezte megfelel a fehér golyó húzásának, az esemény be nem következte a fekete golyó húzásának.

Ennek segítségével ki tudjuk számítani, hogy pl. n db kísérletből hányszor következik be egy adott esemény. Az előzőekben ismertetett urnából húzzunk n-szer, visszatevéssel (tehát a kihúzott golyót mindig visszatesszük, azaz mindig K/N eséllyel húzunk fehéret). Mi a valószínűsége, hogy k-szor húztunk fehér golyót? (Azaz mi a valószínűsége, hogy az A esemény k-szor következett be?).
A dolgozatban részletezett meggondolással kapjuk, hogy

Ezt az erdményt a későbbiekben még sokszor fogjuk használni.