A valószínűségszámítás és egyéb matematikai tudományágak kapcsolata II.

Folytassuk sorozatunkat! Újabb példák következnek a valószínűségszámítás és más matematika tudományágak kapcsolatára.

A valós számsorok fogalmának előkészítése is történhet valószínűségszámítási problémákon keresztül. Nézzünk erre egy példát, ami a hanyag pénztárosról szól!

Korábban már szerepelt a rovatunkban ez a téma, akkor lusta pénztárosnak neveztük, de azóta egy diák azt mondta, hogy erre a pénztárosra jobban illik a hanyag jelző, mint a lusta..

Egy moziban a jegyek egységesen 500 forintba kerülnek.
A hanyag pénztáros nem törődik azzal, hogy felkészüljön a munkájára, így váltópénz nélkül kezdi a napot.
Hosszú sor áll az ablaka előtt, minden vásárló egy jegyet akar venni. Mindegyiküknél vagy egy darab ötszázas, vagy egy darab ezres van. Várhatóan hány mozilátogatót tud majd kiszolgálni a pénztáros?

Az alábbi animációval szemléltethetjük a problémát:

A l valószínűségi változó jelölje a kiszolgált mozilátogatók számát! Ennek a várhatóértékét keressük. Ehhez először a l eloszlását kell megadni.

Kombinatorikai meggondolásokkal és a klasszikus valószínűségi mezőről tanultak felhasználásával adódik, hogy

P(l = 2k +1) = 0 és P(l= 2k) =

 bármely k természetes szám esetében.

Tekintettel arra, hogy az eloszlás tagjai összegének 1-nek kell lenni,

Ezzel indokolhatjuk, hogy értelmezni kell végtelen összeget (sort), mégpedig oly módon, hogy a fenti egyenlőség teljesüljön.

Ez a probléma még további érdekességet is rejt magában. A keresett várhatóértéket a

sor adná, de ez divergens, így a l olyan valószínűségi változó, aminek nincs várhatóértéke.

A fordított irányú tárgyalásmód is elképzelhető, ezt szemlélteti a következő probléma:

Adjuk meg az alábbi sor összegét

ahol F(n - 1) a Fibonacci sorozat (n - 1). tagját jelöli!

Tekintsük a következő valószínűségszámítási problémát!

Egy pénzdarabot dobálunk addig, amíg kétszer egymás után nem dobunk fejet. Az e valószínűségi változó megadja azt a számot, ahányadik dobásra a két egymás utáni fej dobása először bekövetkezik.

Megmutatható, hogy az e  eloszlása

így a vizsgált sor összege 1.

Megjegyezzük, hogy ez a probléma általánosítható oly módon, hogy egy pénzdarabot dobálunk addig, amíg k-szor egymás után nem dobunk fejet. Az így kapott valószínűségi változók várhatóértékének keresése is sok tanulságos munkát adhat.

Tarcsay Tamás