A matematika és a Húsvét

A Húsvét közeledtével elgondolkodtunk azon, hogy az ehhez az ünnephez kapcsolódó fogalmak miként jelenhetnek meg a matematikában. Lássuk az eredményt!

Nyúl

A Fibonacci nyulai nevű probléma a matematika egyik érdekes, messzire vezető utak kiindulási pontjaként szolgáló vizsgálati területe.

A fenti ábra szemlélteti a nevezetes, "életből ellesett" problémát, aminek jelentős irodalma van az Interneten, ezek közül ajánlunk olvasóink figyelmébe néhány anyagot. Megjegyezzük, hogy a hatalmas kínálatból csak csemegéztünk, érdemes a böngészőket használni!

Fibonacci nyulai

Ezen az oldalon a probléma pontos megfogalmazása, szemléltetése olvasható, és feladatokat is várják itt az érdeklődőket, illetve a probléma továbbfejlesztésének útjait is felvillantja a szerző.

Fibonacci's Rabbits

Ezen az angol nyelvű oldal rövid történeti bevezetőt tartalmaz. A Fibonacci sorozat további természeti vonatkozásait és érdekes fagráfos ábrázolás is található az anyagban.
 
 

The Fibonacci Rabbit sequence

Azon túl, hogy a Fibonacci féle "nyúlsorozat"-tal itt is megismerkedhetünk, még egyéb, a korábbival ekvivalens bevezetési módokat is olvashatunk. A Fibonacci sorozat és a Mandelbrot halmaz kapcsolatát is felvillantja szerző.
 
 

Fibonacci - His rabbits and his numbers and Kepler

Ebben a - jellemzően- tudománytörténeti cikkben - a Fibonacci számaihoz kapcsolódva - megjelenik a nagy csillagász Kepler neve is.

Tojás

Ez a szó matematikaórán akkor szokott elhangzani a gyerekek szájából, amikor az ellipszist tanítjuk:

Tanítványaink nyilvánvalóan arra gondolnak, hogy a tyúktojás tengelymetszetének alakja emlékeztet az ellipszisre. Erről a görbéről azonban közismert, hogy középpontosan szimmetrikus ponthalmaz, és Kolumbusz óta tudhatjuk, hogy ez a tulajdonság nem jellemzi a tojás formát. Módosítsunk egy kicsit az ellipszisen! A kistengely egyenesére vonatkozó egyik félsíkban marad az ellipszis, a másik félsíkba egy olyan félkört rajzolunk, amelynek átmérője az ellipszis kistengelye. Így nyerhető a következő ábra:

Ezzel a módszerrel elérhetjük, hogy töréspont nélküli görbét kapunk, ami el is várható, ha egy tojást akarunk modellezni. Így talán már közelebb jutottunk egy valódi tojás tengelymetszetéhez. Egy hűtőszekrényben végzett tudományos vizsgálódásaink során megállapítottuk, hogy nem igaz az az állítás, hogy két tyúktojás annyira hasonlít egymásra, mint egyik tojás a másikra. Ugyanakkor igaz az, hogy a különböző madárfajok tojásainak formája jelentősen eltérhet egymástól. Ennek a jelenségnek és okainak vizsgálata túlmutat cikkünk határain. Aki többet tud erről, írja meg nekünk!

Ajándék

Az ajándékozás többek között a kombinatorika témakörének tanításakor merül fel a matematikaórákon. Az alapprobléma a következő: Adott n ember és k ajándék. Hányféleképpen lehet elosztani az ajándékokat az emberek között? Négy különböző feltételrendszerben érdemes tárgyalni ezt a kérdést:

1. Az ajándékok különbözők, az emberek közül mindenki legfeljebb egy ajándékot kaphat.

Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben k nem lehet nagyobb n-nél. Az első ajándékot n ember kaphatja, ezután a másodikat már csak (n-1), a harmadikat (n-2), és így tovább, a k-adikat (n-k+1) ember kaphatja, így az ajándékozási lehetőségek száma:

n(n-1)(n-2) . . . (n-k+1). (Ismétlés nélküli variáció)

2. Az ajándékok különbözők, az emberek akár több ajándékot is kaphatnak.

Ekkor az első ajándékot n ember kaphatja, ezután a másodikat ismét n, a harmadikat n, és így tovább, a k-adikat megint n ember kaphatja, így az ajándékozási lehetőségek száma:

. (Ismétléses variáció)

3. Az ajándékok azonosak, az emberek közül mindenki legfeljebb egy ajándékot kaphat.

Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben k sem lehet nagyobb n-nél. Az ilyen feltételek közötti ajándékozási lehetőségek száma k!-ad része az 1.-ben kapott lehetőségek számának, hiszen az itteni esetek mindegyike k!-szor fordul elő 1.-ben, , így az ajándékozási lehetőségek száma:

. (Ismétlés nélküli kombináció)

4. Az ajándékok azonosak, az emberek akár több ajándékot is kaphatnak.

Ennek a problémának a megoldása egy szellemes ötleten alapul: Kérjünk kölcsön még n darab ajándékot, így már n+k darab lesz. Ezeknek az olyan szétosztási lehetősége, hogy mindenki legalább egy ajándékot kap pontosan annyi lesz, amennyi a mi általunk most keresett szétosztási lehetőségek száma. (A végén mindenkitől visszaveszünk egy ajándékot.) Rakjuk sorba tehát az n+k darab ajándékot:

Ezt az n+k tagú sort n részre kell bontani, ami azt jelenti, hogy a köztük levő n+k-1 "köz" közül kell (n-1)-et választani. Így kapjuk, hogy a szóban forgó szétosztások száma:

. (Ismétléses kombináció)

 

Ha az olvasók közül valakinek a fenti témák közül valamelyikhez kapcsolódó ötlete, megjegyzése vagy javaslata lenne, akkor írja meg nekünk, hogy közölhessük.

Portál