 |
Biológia és matematika - a Lotka-Volterra egyenletek
A tudományfilozófiával foglalkozó gondolkodók számára régóta egyértelmű, hogy a matematika nem természettudomány. Ha valamihez, hát a nyelvészethez áll közel (talán nem csoda, hogy az emberi agyban is a matematikára specializálódott régiók a nyelv és a zene közelében helyezkednek el.) De ha nyelv is a matematika, bizonyos, hogy ez az a nyelv, amin a természettudományok beszélnek. Ahhoz azonban, hogy a matematika és a természettudományok egymásra találjanak, hosszú időnek kellett eltelnie, hiszen a biológia hosszú ideig csak leíró és nem modellező tudomány volt.
 Fibonacci |
Fibonacci
A XIV. században élt Pisában egy matematikus, Fibonacci, aki számokat keresett
a természetben. Ilyesmiket kérdezett: hogyan növekszik egy nyúltenyészet egyedszáma,
hány pikkely van a fenyőtobozokon, hogyan éri utol a vadászkutya a nyulat? Furcsa
szabályosságot talált, sorozatát nevezték el Fibonacci-sornak. A Fibonacci sor
a következő:
1...2...3...5...8...13...21...34...55...
Jól látható, hogy minden egyes tag (az első kettőt kivéve) az előző két tag
összegével egyenlő. A sorozat aztán bőven adott munkát a matematikusoknak, főleg,
hogy egymást követő tagjai hozzávetőlegesen aranymetszési arányban vannak egymással.
 Malthus |
Malthus
A következő érdekesebb kapcsolat biológia és matematika között a XVIII. században
került elő. Az angol Malthus vizsgálta az emberiség növekedésének matematikai
vetületeit és megállapította, hogy az egy exponenciális függvénynek megfelelően
növekszik (
). Mivel ő a technikai
fejlődést egyenes vonalúnak (lineárisnak, 
)
tekintette, arra a következtetésre jutott, hogy időről-időre szükség van a népesség
számának drasztikus csökkenésére. Így magyarázta a járványok, háborúk törvényszerű
előfordulását. Malthus gondolatai nagy szerepet játszottak fél évszázaddal később
Darwin elméletében is.
A statisztika
Mikor a XIX. században bevezették az általános hadkötelezettséget, hirtelen nagyon sok antropológiai adat állt az államok rendelkezésére. Ennek feldolgozásához statisztikai eszközökre volt szükség. Így aztán a biológiának is komoly szerepe lett a matematikai statisztika fejlődésében.
A populációbiológia
Nem független az előbb említett eseményektől, hogy a századelőn kialakult a
biológiának egy olyan ága, mely szinte teljes egészében matematikai módszerekre
támaszkodott. A populációbiológiáról van szó. Könnyen belátható, hogy a populációbiológiában
a legtöbb kísérlethez néhány száz évre és egy fél országnyi területre lenne
szükség, így aztán nem marad más, mint a modellezés. A modelleket pedig a matematika
nyelvén fogalmazzák meg.
A populációgenetika aztán a matematika teljes tárházát felsorakoztatta, sőt
nem egyszer még valami újat is hozott a matematikusok számára. Ennek egyik példája
a Lotka-Volterra egyenlet.
A Lotka-Volterra egyenletek
 |
Egy amerikai biztosítási ügynök kezdetben szórakozásból kezdte el vizsgálgatni,
milyen lehet egy a zsákmány és ragadozó populációk egymásra hatása (később ezt
egy olasz matematikus, Volterra tökéletesítette, közös cikkük 1927-ben jelent
meg). Egyszerű modelljében a zsákmány populáció növekedése az adott populáció
méretétől, csökkenése a ragadozó populációétól függ. A ragadozóknál pont fordítva,
növekedésük függ a zsákmány populáció méretétől, míg csökkenésüket a saját populációjuk
mérete szabja meg. Ebben a modellben tehát négy paraméter van: a zsákmánypopuláció
növekedési sebessége (legyen ez a), annak az esélye, hogy egy ragadozó
elkap egy zsákmányt (b), annak a mértéke, hogy egy elfogott zsákmányállat
mennyivel járul hozzá a ragadozók szaporodásához (c), valamint a ragadozók
elhalálozási sebessége (d). (Érezhető, hogy a modell szinte képtelen
leegyszerűsítéseket tartalmaz, pl. a ragadozók nélkül a zsákmány populáció a
végtelenségig nő. De ezért csak modell, nem pedig a valóság, és még így is izgalmas
következtetéseket vonhatunk le belőle.) Ezen paraméterek mellett, ha a zsákmány
populáció egyedszáma egy nemzedékben Z, akkor a következő nemzedékben Z+aZ-bRZ,
ahol R a ragadozó populáció egyedszáma. A ragadozók egyedszáma pedig R+cZR-dR
lesz. Nem tűnik túl bonyolultnak a dolog, de az, hogy ezek után akárhány generáció
elteltével meg tudjuk mondani, hogy mekkora lesz éppen a zsákmányállatok és
a ragadozók egyedszáma már komolyabb matematikai apparátusra, pontosabban differenciálegyenletekre
van szükségünk.
A differenciálegyenleteknek ezt a típusát Lotka-Volterra egyenleteknek nevezik.
A Lotka-Volterra egyenletekről bizonyítható, hogy van megoldásuk, és az is,
hogy pontosan (analitikus módszerrel) nem oldhatóak meg. A megoldást csak közelítő
(numerikus módszerekkel kaphatjuk meg). Elméletileg azonban az is könnyen bizonyítható,
hogy a modellnek van ugyan stabil pontja (olyan paraméterei, ahol az egyedszámok
változatlanok, de ez a pont nem attraktora (azaz más pontokról nem tart efelé
és nem is jut el a stabil pontba). A stabil állapot a Z=d/c és R=a/b
paramétereknél és kezdeti értékeknél érhető. minden ettől eltérő értéknél az
egyedszámok periodikusan fognak változni. A függvénynek ez a viselkedése már
a matematikusok számára is hosszú időre tartogatott érdekességeket. A differenciál
egyenletek egy külön típusát alkotják a Lotka-Volterra típusba tartozók, melyeknek
külön specialistái vannak.
De mi a Lotka-Volterra egyenletek biológiai következtetése? Bár a természetben
ritkán valósulhatnak meg azok a feltételek, amiket a modell megkövetel, bizonyos
periodicitások mégis jól magyarázhatóak vele. Némi továbbfejlesztéssel (és még
több matematikával) aztán már sokkal informatívabb modellek is előállíthatók
a Lotka-Volterra modell alapján.
Ha valakinek kedve volna kipróbálni a Lotka-Volterra modellt, itt megtalálhat egy Excel fájlt hozzá.
Sopánkodás
Egy ilyen figyelemfelhívó cikk nem is próbálhat csak közelítőleg teljes képet adni a matematika és a biológia szerteágazó kapcsolatairól. Nem esett szó a zseniális populációgenetikusról, Fisherről, aki matematikusnak sem volt utolsó, sem a zseniális matematikus Turingról, aki teljesen új látásmódot adott az embriológiának. Nem említettük meg a genomika, a prebiológia, az ökológia stb. matematikai vonzatait. Mindezekért nagyon szégyelljük is magunkat.
Portál
