Folyadékok mechanikája

Az ideális folyadék

Tudjuk, hogy a szilárd halmazállapotú testeknek meghatározott alakja van, amely csak munkavégzés árán változtatható meg. A folyékony halmazállapotú anyagok felveszik az edény alakját, de részleges kitöltés esetén szabad felszínnel rendelkeznek, a légnemű vagy gáz halmazállapotú anyagok pedig a rendelkezésükre álló teret teljes egészében kitöltik.

Elsőként definiáljuk azt a két legfontosabb anyagjellemzőt, amelyre a folyadékokkal kapcsolatos jelenségek leírásához feltétlenül szükségünk lesz.

Az első ilyen jellemző az anyag sűrűsége, amelyet természetesen bármely más halmazállapotú testre is értelmezhetünk, a

hányadossal, ahol a figyelembe vett térfogatelem elegendően kicsi. Homogén tömegeloszlású test esetén természetesen a sűrűség az általánosan használt

összefüggéssel számítható.

A folyadékok másik fontos jellemzője a viszkozitás, amely szemléletesen a folyadék alakváltozással szembeni ellenállásának számértékét adja. Meg szoktuk különböztetni az dinamikai és a kinematikai viszkozitást, és a két mennyiség közötti kapcsolat az összefüggéssel adható meg.

Ahhoz, hogy a folyadékok mechanikájával kapcsolatos törvényeket a rendelkezésünkre álló matematikai eszközökkel meg tudjuk határozni, a vizsgált folyadékokkal kapcsolatban bizonyos feltételezésekkel kell élnünk. A továbbiakban tehát először olyan, ideálisnak tekintett folyadékokkal foglalkozunk, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

Az ezekkel az elvi tulajdonságokkal rendelkező folyadékok esetén meghatározott összefüggések természetesen a későbbiekben általánosíthatók, vagyis érvényességük kiterjeszthető a valóságos folyadékok hidrosztatikai és áramlástani vizsgálataira is.

A nyugvó ideális folyadék egyensúlya: hidrosztatika

A nyugvó folyadék szabad felülete

Az ideális folyadék egyik alapvető tulajdonságaként említettük, hogy belső súrlódása nincs, vagyis a nyugvó folyadék határfelületén és belsejében az alakváltoztató hatással szemben nyírófeszültségek nem ébredhetnek. A nyugvó folyadék szabad felszínének egyensúlya tehát csak úgy állhat fenn, ha a szabad felszín mindenkor merőleges a helybeli nehézségi gyorsulás irányára, köznapi szóhasználattal élve vízszintes.

A folyadék nyomása

A folyadékokra egyaránt hathatnak térfogati és felületi erők. A térfogati erők között legfontosabb példaként említhetjük a nehézségi erőtér által kifejtett erőt, míg a felületi erők közül a folyadék nyomásából származó erőt tekinthetjük mértékadónak.

A nyomás a felületre merőlegesen ható erőnek és a felület nagyságának hányadosa:

Ha az erő, és ezáltal a nyomás a felület különböző pontjaiban nem egyenlő, a fenti hányados természetesen csak átlagos nyomásértéket definiál, ebben az esetben a lokális vagy helyi nyomás értékét a

hányados adja meg, ahol a választott felületelem már elegendően kicsi ahhoz, hogy a rá ható erő állandónak legyen tekinthető. A nyomóerő mindig merőleges a felületre, a felület irányításától függetlenül, ezért a nyomás skaláris mennyiség. A nyomás tehát irányfüggetlen, vagyis izotróp mennyiség, másrészt pedig homogén, azaz megegyezik a folyadék belsejében és határfelületén.

Ha feltételezzük, hogy a folyadékra térfogati erők nem hatnak, vagyis a nehézségi erőtér hatásától eltekintünk, akkor ebben az esetben a vizsgált folyadékra csak felületi erők hatnak, és megfogalmazhatjuk Pascal törvényét, amely szerint:

A folyadékra vagy gázra ható külső felületi erő által létrehozott nyomás a folyadékban vagy gázban minden irányban gyengítetlenül terjed.

Ez a törvény természetesen csak azokban a gyakorlati esetekben alkalmazható, amelyekben a nehézségi erőtér hatása a folyadékra ható külső felületi erőkhöz képest elhanyagolható, pl. hidraulikus emelők vagy prések, illetve hidraulikus vagy egyes légnyomással működő fékek esetében.

Hidraulikus emelő

Egyszerű példaként említhetjük az ábrán vázolt hidraulikus emelőt, ahol a folyadék nyomásából származó erő mindkét oldalon egyensúlyt tart a dugattyú súlyerejével és a dugattyúra ható külső erővel:

.

Az egyenletből következő

kifejezés egyértelműen mutatja, hogy a felületek arányát megfelelően kicsire választva elérhető, hogy igen nagy terheket is emelni tudunk viszonylag kis erőkifejtéssel. A folyadék összenyomhatatlanságából következően a munkafolyadék térfogata állandó lévén a dugattyúk elmozdulása természetesen nem egyenlő, vagyis mechanikai munkát nem nyerhetünk, hiszen a kis erőt a dugattyú hosszú elmozdulása során kell kifejtenünk.

A hidrosztatikai nyomás

A következőkben vegyük figyelembe, hogy a folyadékra mindenkor hat a nehézségi erő, tehát vizsgáljuk meg a súlyos folyadék egyensúlyának feltételeit.

Ha a folyadék felszínén nem hat külső felületi erő, akkor a folyadék felszínétől mért h mélységben a nyomás értéke:

.

Amennyiben a szabad felszínre ható, általában -lal jelölt külső légköri nyomást is figyelembe vesszük, akkor az előbbi nyomás értéke:

.

Ezt az összefüggést a hidrosztatika alapegyenletének nevezik. A benne szereplő nyomások közül tehát -t külső légköri nyomásnak, a mennyiséget túlnyomásnak, és a kettő összegeként értelmezett nyomást abszolút nyomásnak nevezzük, ezekkel az elnevezésekkel tehát az előbbi egyenlet a

alakban írható fel.

Érdekes megállapítást tehetünk, ha vizsgáljuk a folyadék súlyából származó, a folyadékot tartalmazó edény aljára ható erők nagyságát különböző kialakítású edények esetén.

A hidrosztatikai paradoxon

A folyadék mindegyik edényben azonos magasságú, tehát valamennyi tartály alján a túlnyomás .

A tartályok alaplapjainak felülete szintén egyenlő, így az ezen túlnyomásból származó, a tartály alaplapjára ható erő nagysága valamennyi esetben

.

Miután a folyadék súlyerejét a összefüggéssel határozhatjuk meg, és az edény alakjától függően a folyadéktérfogatok értéke más és más, látjuk, hogy a tartály aljára ható erő nem feltétlenül egyenlő a benne lévő folyadék súlyerejével, hanem annál nagyobb is vagy kisebb is lehet. Ezt a jelenséget hidrosztatikai paradoxonnak nevezzük.

A hidrosztatikai paradoxonban rejlő látszólagos ellentmondás természetesen feloldható, hiszen, ha az edény oldalfaláról a folyadékra átadódó erőket is figyelembe vesszük, folyadékra ható erők eredője zérusra adódik. Az edény oldalfalára ható, a folyadéknyomásból származó erők meghatározása azonban még egyszerű formájú edény esetében is összetett feladat, mert a nyomás a felületen nem állandó, hanem a mélységgel lineárisan változik. Az általa kifejtett erő tehát egy olyan, a felületen megoszló erőrendszer, amelynek intenzitása a mélységgel egyenesen arányosan változik. Természetesen az ilyenkor szokásos elvet követve, vagyis a felületet olyan felületelemekre osztva, amelyen belül a nyomás állandónak vehető, az ezen felületelemekre ható erők meghatározhatók, és összegzésükkel az edény oldalfalára ható erő nagysága általában kiszámítható. Az így adódó erő tehát az a koncentrált erő, amellyel a folyadéknyomásból származó erőrendszer helyettesíthető, azaz a megoszló erőrendszer eredője.

Említettük, hogy a Föld gravitációs terében elhelyezkedő kis kiterjedésű folyadéktér elemeire ható súlyerők jó közelítéssel párhuzamosak és a földfelszínre merőlegesek, így mondhatjuk, hogy a nehézségi erőtér hatása alatt álló folyadéktérben a nyomás egy vízszintes felület minden pontjában egyenlő. Azokat az edényeket vagy edényrendszereket, melyek között a folyadék vagy gáz szabadon áramolhat, közlekedő edényeknek nevezzük, és előbbi megállapításunk kapcsán megfogalmazhatjuk a közlekedőedény elvet:

Közlekedőedények száraiban az edény aljától számított ugyanazon magasságban a nyomások egyenlők, ha az egyenlő magasságban lévő pontok még ugyanabban a folyadékban vannak.

Közlekedő edény

Ezt az elvet egyes hidrosztatikai feladatok megoldásánál gyakran alkalmazzuk, ügyelnünk kell azonban arra, hogy a kiválasztott szintfelület ugyanabban a folyadékban legyen.

Súlyos folyadék és szilárd test egyensúlya: Arkhimédesz törvénye

Tapasztalatból tudjuk, hogy a folyadékba helyezett szilárd test egyes esetekben elmerül, más esetekben a folyadékba teljesen bemerülve a folyadék belsejében bárhol egyensúlyi helyzetben marad, vagyis lebeg, míg olyan esetek is előfordulnak, amelyekben a test a folyadékba részlegesen bemerülve annak felszínén úszik.

Az egyensúlyban lévő testre ható erők eredőjének természetesen zérusnak kell lennie, ami csak úgy teljesülhet, ha a folyadék valamely felfelé irányuló, a testre ható erő kifejtésével a test súlyerejével egyensúlyt tart. Ezt, a folyadék nyomásából származó, a folyadékba merülő testre felfelé ható erőt felhajtóerőnek nevezzük.

A felhajtóerő nagyságának meghatározásához végezzünk el egy egyszerű gondolatkísérletet!

A felhajtó erő

Jelöljünk ki az ábrán vázolt folyadéktérből egy A zárt felülettel körülhatárolt térrészt! Ez a folyadéktérrész egyensúlyban van, vagyis a folyadéknyomásból származó megoszló erőrendszer eredője egyensúlyt tart a térrészben lévő folyadék súlyerejével:

.

Amennyiben a folyadéktérrészt kiemeljük és helyére egy vele megegyező szilárd testet helyezünk, a folyadéknyomásból származó megoszló erőrendszer eredője nem változik, vagyis erre a szilárd testre is a kiszorított folyadék súlyerejével megegyező nagyságú, felfelé mutató erő, a felhajtóerő hat. Ezek alapján megfogalmazhatjuk tehát Arkhimédesz törvényét:

Minden folyadékba merülő testre akkora felhajtóerő hat, amennyi a test által kiszorított folyadék súlya.

Azokban az esetekben, amikor a test súlyereje nagyobb a teljes bemerüléshez tartozó felhajtóerőnél, a test elsüllyed. A két erő egyenlősége esetén a test a folyadékban lebeg, akkor pedig, amikor a teljes bemerüléshez tartozó felhajtóerő nagyobb a test súlyerejénél, a test a folyadékba csak részlegesen merül, és a folyadék felszínén úszik.

A bemerülés mélységét természetesen ki tudjuk számítani, hiszen a kiszorított folyadék térfogata, amely a felhajtóerő nagyságát meghatározza, éppen egyenlő a test folyadékba merülő részének térfogatával, és az erők egyensúlyából a test folyadékba merülő térfogata, illetve abból a bemerülés mélysége meghatározható.

 

Folyadékáramlások

Eddigi vizsgálatainkban mindvégig a nyugalomban lévő folyadék egyensúlyának feltételeit vizsgáltuk, a következőkben ejtsünk néhány szót az ideális folyadékok áramlásának törvényszerűségeiről.

Mindenekelőtt kössük ki, hogy az áramló folyadék bármely meghatározott pontjában a lokális vagy helyi gyorsulás legyen zérussal egyenlő, ami a gyakorlatban azt jelenti, hogy az áramlás ezen pontjában az áthaladó folyadékrészecskék sebessége az időben állandó, ezért ezt az áramlást stacionárius vagy időálló áramlásnak nevezzük.

Az áramlási tér sebességviszonyainak szemléletes leírásához vezessük be az áramvonalak fogalmát: az áramlási térben haladó olyan folytonos görbéket, amelyeknek bármely pontbeli érintője a pontban érvényes sebesség irányába esik, áramvonalnak nevezzük. Stacionárius áramlás esetén ezek az áramvonalak egyben az áramló folyadékrészecskék pályáit is megadják.

Az áramvonal

Tekintsük a következőkben az áramlási tér egy adott P pontját, és az ezen pontban érvényes sebességre merőleges síkban vegyünk fel egy zárt görbét. Az ezen a görbén áthaladó valamennyi áramvonal, ha a két végét lezáró síkkal végessé tesszük, egy, az ábrán látható csőszerű térrészt foglal magába, és ezt a térrészt áramcsőnek vagy áramlási csőnek nevezzük.

Az áramcső

Az áramcső definíciójából következően annak palástján folyadék nem léphet át, hiszen burkolófelületét a folyadékrészecskék sebességvektorai mint érintők alkotják. Az áramcső be- és kilépő keresztmetszetén tehát időegység alatt ugyanannyi folyadéknak kell átáramolnia, vagyis:

.

A közeg, azaz az ideális folyadék összenyomhatatlan, ezért a két sűrűség egyenlőségéből a

alakú egyenlet adódik, amelyet a kontinuitás vagy folytonosság tételének szokás nevezni.

Ha az áramló folyadék nyomása és sebessége közötti kapcsolatról szeretnénk valamilyen számszerű összefüggést meghatározni, akkor írjuk fel az ideális folyadék stacionárius áramlási terében elhelyezkedő vékony áramcsődarabba zárt folyadéktömegre a munkatételt. Eszerint ezen folyadéktömeg mozgási energiájának megváltozása egyenlő a vizsgált folyadéktömegre ható összes erő munkájával. Ideális folyadékról lévén szó ezek az erők a nyomásból származó felületi erők, és a valamely külső erőtér hatásából származtatható térfogati erők, mint például a nehézségi erő lehetnek.

Mindezeket figyelembe véve egységnyi tömegre írható:

,

és ez az összefüggés az ideális folyadék stacionárius áramlására vonatkozó Bernoulli-egyenlet alapformája. A tétel tulajdonképpen azt mondja ki, hogy a folyadék egységnyi tömegére vonatkoztatott mozgási energiájának, nyomásból származó munkavégző képességének és helyzeti energiájának összege egy áramvonal mentén állandó.

Amennyiben egyenletünk mindkét oldalát a folyadék sűrűségével megszorozzuk, a Bernoulli-egyenlet nyomás dimenzióban felírt alakját kapjuk:

.

Az összefüggésben szereplő, a folyadék sebességéből származó nyomást dinamikus vagy sebességnyomásnak, a p-vel jelölt nyomást statikus nyomásnak, míg a szorzattal értelmezett mennyiséget a már ismert hidrosztatikai nyomásnak nevezzük.

A Bernoulli-egyenlet az energiadimenzióban felírt alapegyenlet mindkét oldalának g-vel való osztásával magasság dimenzióban is felírható:

,

ekkor egy áramvonal pontjaira vonatkozóan a sebességmagasság, a nyomásmagasság és a geometriai magasság állandóságát mondja ki. A feladatok megoldása során fontos figyelembe venni, hogy a Bernoulli-egyenlet csak akkor érvényes, ha a benne szereplő pontok ugyanazon áramvonalon helyezkednek el.

 

A valóságos folyadék: felületi feszültség, kapillaritás

Eddigi vizsgálatainkban az ideális folyadékok egyensúlyának és áramlásának törvényszerűségeit határoztuk meg, most tekintsünk néhány, a valóságos folyadékokkal kapcsolatos jelenséget.

A valóságos folyadékokban a nyomóerők mellett ténylegesen mindig működnek a molekulák között ható vonzóerők is. Az azonos részecskék között fellépő ilyen erőt kohéziós erőnek, míg a különböző minőségű részecskék között ható erőket adhéziós erőknek nevezzük.

Tapasztalatból tudjuk, hogy egy üveglapot vízbe mártva és onnan kiemelve a folyadékrészecskék az üveglapon megtapadnak. Ebben az esetben a víz és az üveg részecskéi között ható adhéziós erő nagyobb a vízrészecskék közötti kohéziós erőnél, és nedvesítő folyadékról beszélhetünk.

Ha ugyanezt az üveglapot most higanyba mártjuk, azt tapasztaljuk, hogy a higany nem nedvesíti az üveget, vagyis ebben az esetben a kohéziós erők nagyobbak az adhéziós erőknél.

Az is tapasztalati tény, hogy a folyadékhártyában a hártyát összehúzó, a határgörbére merőleges erők működnek. Ennek az erőnek a nagysága egyenesen arányos a határgörbe hosszával, és írható:

ahol az arányossági tényezőt felületi feszültségnek nevezzük, és elsősorban a folyadék anyagi minőségétől, kismértékben pedig a hőmérséklettől függ. Az összefüggésben a határgörbe hossza azért 2l, mert a húzóerő általában két, l hosszúságú határgörbe mentén jelenik meg.

Azt is tapasztalatból tudjuk, hogy vékony csövekben, más szóval kapillárisokban a folyadék felszíne homorú vagy domború aszerint, hogy nedvesítő vagy nem nedvesítő folyadékról van szó.

Kapilláris

A folyadék egyensúlyának vizsgálatához tekintsük példaként a nedvesítő folyadék esetét. A cső fala mentén lévő részecskék erősen a falhoz tapadnak, míg a távolabbiak a folyadék felszínén a felületi feszültségből számítható nagyságú erővel kapcsolódnak a falon lévő molekulákhoz. Az erők egyensúlya csak úgy állhat fenn, ha a felületi feszültségből származó erő meg tudja tartani a csőben levő folyadékoszlopot:

.

Ebből az emelkedési magasság:

.

Az összefüggés arra is lehetőséget ad, hogy ismert átmérőjű kapillárisban az emelkedés megmérésével a felületi feszültség értékét meghatározzuk. Süllyedésnél, vagyis nem nedvesítő folyadék esetében a számítások természetesen ugyanerre az eredményre vezetnek.

- vissza -