1999/2000. Arany Dániel Matematika I-II-III. kategória II. forduló

1. feladat

Határozzuk meg az

||x+1|+|x-2|-x2| = 2

egyenletet kielégítő valós x értékeket!

2. feladat

Határozzuk meg azt a legkisebb törtet, amelynek számlálója és nevezője is pozitív egész szám, a tört és a tört négyzetének összege nagyobb, mint 6, továbbá számlálójának és nevezőjének összege kisebb, mint 100.

3. feladat

Legyen az ABC háromszög A csúcsból induló szögfelezője AK, B csúcsból induló szögfelezője BL (K a BC oldalra, L az AC oldalra illeszkedik). A szögfelezők metszéspontja legyen O.

Bizonyítsuk be, hogy ha OK=OL, akkor a háromszögnek vagy van 60o-os szöge, vagy egyenlő szárú.

4.feladat

Bizonyítsuk be, hogy 2000 darab páratlan pozitív egész szám reciprokának összege nem lehet 1, de van olyan 2000 darab páronként különböző pozitív egész szám, melyek reciprokának összege 1.

II. kategória általános tantervű gimnáziumi tanulók versenye 2. forduló

1. feladat

Megegyezik az I. kategória 1. feladatával.

2. feladat

Legyen P az ABC szabályos háromszög köré írható körének egy olyan pontja, amire az AP szakasz a BC oldalt egy belső Q pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy

3. feladat

2-nek melyik legnagyobb pozitív egész kitevőjű hatványával osztható 19992000-1?

4. feladat

Egy 1999-szer 2000-es téglalap alakú táblázat minden mezőjében a (-1) vagy az 1 szám áll. Egy-egy alkalommal bármelyik sorban vagy oszlopban megváltoztathatjuk az összes szám előjelét. Bizonyítsuk be, hogy az adott "művelet" véges sokszori alkalmazásával elérhető,
a) hogy a táblázatban lévő számok összege legalább 2000 legyen.
b) hogy minden sorban és minden oszlopban a számok összege nem negatív legyen.

III. kategória speciális matematika tantervű gimnáziumi tanulók versenye 1. forduló

1. feladat

Bizonyítsuk be, hogy ha p, q és r olyan valós számok, amelyekre p=q+r+1, akkor az

(x2+px+q)(x2+px+r)=0

egyenletnek legalább két különböző valós megoldása van.

2. feladat

Egy 2 egység átfogójú derékszögű háromszög belső szögfelezői. a háromszög köré írt körét a P , Q , R pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy a PQR háromszög területe legfeljebb (1+) területegységnyi.

3. feladat

Megegyezik a II. kategória 3. feladatával.

4. feladat

Az f(x) =ax2+bx+c függvényre teljesül, hogy ha 0Łx Ł1, akkor |f(x)|Ł1.
Bizonyítsuk be, hogy |a|+|b|+|c|Ł17

5. feladat

Egy iskolába 1999 diák jár. Minden nebulónak a többi 1998 közül pontosan k szimpatikus. Mely k esetén lehetünk biztosak benne, hogy a diákok között van kettő, akik kölcsönösen szimpatikusak egymásnak, vagy kölcsönösen nem szimpatizálnak?