4. TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK, PERDÜLET

Merev test a test, ha bármely két pontjának távolsága mozgás közben nem változik.Mozgásuk leírása nehéz feladat ezt a problémát több fejezeten keresztül fogjuk még vizsgálni, most néhány speciális esetben kíséreljük meg a probléma megoldását. Ehhez szükségünk lesz néhány új, a merev testet és mozgását valamilyen szempontból jellemző mennyiségre.

Tehetetlenségi nyomaték: a forgó testet jellemző paraméter (minél nagyobb annál nehezebb a testet forgásba hozni). Q a tehetetlenségi nyomaték definíciója tömegpontra:

Ha több tömegpont van, mint az ábrán akkor

,

ahol mi az egyes tömegpontok tömege és ri a tömegpontnak a forgástengelytől vagy egy vonatkoztatási ponttól mért távolsága.

Kiterjedt test tehetetlenségi nyomatéka: hasonlóan határozhatjuk meg mint az előbb, ha a testet felosztjuk sok kis részre, amelyek már pontszerűeknek tekinthetőek. Ez matematikailag bonyolult lehet, használd a függvénytáblázatot hogy néhány alapesetet megismerj!

Steiner-tétel: A tehetetlenségi nyomaték a fenti definíció miatt függ a tengely megválasztásától. A függvénytáblázatban is láthatjátok, hogy a tömegközépponton átmenő (szimmetria)tengelyre vonatkoztatott nyomatékok meghatározhatóak. Ezek ismeretében az ezzel párhuzamos tengelyekre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékok közötti összefüggést a Steiner-tétel adja meg:

,

ahol m a test össztömege, d a két párhuzamos tengely távolsága, QTKP a tömegközépponton átmenő tengelyre és Qd a tőle d-re lévő, vele párhuzamos tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték.

Perdület (impulzusmomentum, forgásmennyiség): Egy tömegpont (P) egy adott vonatkoztatási ponthoz (O) viszonyított mozgását jellemző mennyiség a perdület vagy pályaperdület, melynek nagysága:

,

itt r az O ponttól mért távolság, a test sebességének r egyenesére merőleges komponense. (Iránya -re és -re merőleges, a Iránya -re és -re merőleges, a jobbkézszabály szerint, az ábrán a papír síkjára merőleges, felénk mutat.)

A rögzített tengely körül forgó merev test mozgását az erre a tengelyre vonatkoztatott perdülete, a sajátperdület írja le. Ez egyes darabjai pályaperdületeinek összege. Nagysága

Nsaját=Q × w ,

itt Q a rögzített tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték.

(Iránya a forgástengely egyenesébe esik, a tömegpontok pályaperdületeinek irányába mutat.)

A perdületmegmaradás törvénye: a tömegpontok rendszeréhez hasonlóan a tengely körül forgó merev testeket is rendszernek tekinthetjük. A zárt pontrendszerrre érvényes lendületmegmaradás tételéhez hasonlóan a merev testek (perdületre nézve) zárt rendszerére (ezt később majd úgy mondjuk hogy a külső erők forgatónyomatéka nulla) igaz a perdületmegmaradás tétele. Azaz az összperdület állandó, megváltozása nulla:

DN=0.

A pályaperdület megmaradása érvényes a centrális erőtérben mozgó testekre. Ezt fejezi ki a bolygómozgást leíró 2. Kepler törvény (felületi tétel). Feladatokban sokszor szerepel a Napközeli és Naptávoli pontok összehasonlítása:

Forgási energia : a kiterjedt, rögzített tengely körül forgó test tömegpontjainak mozgási energiájából származó, a mozgást jellemző paraméter:

.

Táblázat: tömegpont és merev test mozgása egymásnak megfelelõ mennyiségekkel írható le.

Analóg mennyiségek Tömegpont Merev test
A tehetetlenség mértéke m (tömeg) Q (tehetetlenségi nyomaték)

A mozgást jellemző mennyiség

I=m × v(lendület)

N=Q× w (sajátperdület)

Energia

Em=m× v2 (mozgási)

Ef=Q × w2 (forgási)

- feladatok -

- archívum -

- versenyfeladatok -

- 3. heti versenyfeladatok megoldása -

- vissza a tematikához -