Dinamika

Az anyagi pontok dinamikája: Newton axiómái

A dinamika alaptörvényeinek megfogalmazása előtt egy olyan általános természeti törvényt kell megfogalmaznunk, amelynek speciális eseteként valamennyi dinamikai alaptörvény megadható. Ez az általános természeti törvény az impulzus megmaradás törvénye. Egy m tömegű és v sebességű tömegpont mozgásmennyisége vagy más néven impulzusa az

összefüggéssel definiálható, az olyan rendszereket pedig, melyekre ható külső erők eredője zérus, zárt rendszereknek nevezzük. Az impulzus megmaradás törvénye azt mondja ki, hogy bármely ilyen zárt rendszer összimpulzusa, illetve összes mozgásmennyisége állandó. Ennek a törvénynek a segítségével vezethetők le tehát a dinamika alaptörvényei, melyeket más néven Newton törvényeknek vagy newtoni axiómáknak neveznek.

Az első axióma, Newton I. törvénye a testek tehetetlenségét fogalmazza meg: valamely test mindaddig megtartja nyugalmi állapotát vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását, ameddig egy másik test annak megváltoztatására nem kényszeríti. Ez a megfogalmazás a testre ható erők szempontjából a gyakorlatban azt jelenti, hogy nyugalomban lévő vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző testre ható erők eredője mindig zérus.

Newton II törvénye szerint a tömegpont a gyorsulása egyenesen arányos a testre ható erők eredőjével, és az arányossági tényező, a test tehetetlenségének mértéke, éppen a test tömegével egyenlő:

A tehetetlen tömeget - a későbbiekben egyszerűen csak tömeget - az SI mértékrendszerben alapmennyiségnek tekintjük, és az erőt származtatott mennyiségként kezeljük: egységnyi az az erő, amely 1 kg tömeget 1 m/s² gyorsulással képes mozgatni.

A fenti megállapításunkkal kapcsolatosan fontos hangsúlyozni, hogy Newton II. törvénye az általánosan érvényes megfogalmazás esetén azt mondja ki, hogy egy pontszerű testre ható erők eredője egyenlő a test mozgásmennyiségének időegység alatti megváltozásával: . A klasszikus mechanika vizsgálataiban azonban, tehát amikor a fénysebességet meg nem közelítő sebességű mozgások összefüggéseit vizsgáljuk, a testek tömege állandónak tekinthető, így az

összefüggések egymással egyenértékűek.

Newton III. törvényének általánosan elterjedt elnevezése a hatás-ellenhatás vagy akció-reakció elve: két test kölcsönhatásakor két azonos nagyságú, de ellentétes értelmű erő lép fel. Miután ebben a törvényben a két, egymással kölcsönhatásba kerülő test egyike sincs kitüntetve, a törvény úgy is megfogalmazható, hogy két test kölcsönhatásakor az egyik test pontosan akkora, de ellentétes irányú erővel hat a másikra, mint amekkora erővel ez a másik test hat rá.

Végezetül fogalmazzuk meg a feladatmegoldásainkban hallgatólagosan mindig alkalmazott elvet, Newton IV. törvényét, mely szerint az erők vektorokként összegződnek, és hatásukat egymástól függetlenül fejtik ki, vagyis az erők összegzésekor érvényes a szuperpozíció elve. Ezen elv szerint tehát a testre ható erők eredője, az eredő hatás, a testre ható erők vektorainak összegeként meghatározott vektorral jellemezhető.

Az olyan vonatkoztatási rendszereket, amelyekben a megfogalmazott Newton törvények maradéktalanul teljesülnek, inerciarendszereknek nevezzük. A legáltalánosabb megállapítás szerint inerciarendszernek tekinthető az állócsillagokhoz rögzített koordinátarendszer mint vonatkoztatási rendszer, de jó közelítéssel a Földhöz kötött vonatkoztatási rendszer is annak tekinthető. Ezek előrebocsátása után azt mondhatjuk, hogy inerciarendszernek tekinthető minden olyan vonatkoztatási rendszer, amely valamely inerciarendszerhez képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.
Az inerciarendszerhez képest gyorsuló mozgást végző vonatkoztatási rendszer azonban már nem tekinthető inerciarendszernek, és a newtoni axiómák már nem, - illetve csak a rendszer gyorsulásából származtatható fiktív erők, a tehetetlenségi erők figyelembevételével - lesznek érvényesek.

Feladataink megoldása során gyakran találkozunk azzal a kérdéssel, amelyben valamely testre ható erők ismeretében meg kell határozzuk a test mozgástörvényeit, vagyis a test elmozdulás-idő r(t), sebesség-idő v(t) és gyorsulás-idő a(t) függvényeit. Ebben az esetben a testre ható erők eredőjének, esetlegesen az erő időfüggvényének meghatározása után Newton második törvényének segítségével meghatározhatjuk a test gyorsulását, és abból a mozgásra vonatkozó kezdeti értékek figyelembevételével a test sebességét és elmozdulását is. Ezeknek a kinematikai jellemzőknek a meghatározásához tehát ismernünk kell a testre ható erőket és azok törvényszerűségeit, ezért a következőkben néhány alapvető, speciális erő tulajdonságait foglaljuk össze.

Speciális erők és erőtörvények

A gravitációs erő

Tapasztalatból tudjuk, és kísérletek igazolták, hogy két test között fellépő vonzóerő nagysága egyenesen arányos a két test tömegével, és fordítottan arányos a közöttük lévő távolság négyzetével:

Az összefüggésben szereplő arányossági tényező a Newton-féle gravitációs állandó, melynek értéke . Ezt a törvényt szokták a tömegvonzás törvényének, illetve Newton féle gravitációs erőtörvénynek is nevezni. Azt, hogy az ezen összefüggésben szereplő, "gravitáló" vagy "súlyos" tömegnek nevezhető mennyiség megegyezik a Newton II. törvényében említett, tehetetlenség mértékeként meghatározott tehetetlen tömeggel, nagy pontossággal Eötvös Lóránd bizonyította be.

A nehézségi erő

A Földön adott helyén, légüres térben minden szabadon eső test ugyanakkora gyorsulással mozog, tömegétől és sebességétől gyakorlatilag függetlenül. Ezt a gyorsulást nehézségi gyorsulásnak nevezzük és g-vel jelöljük, nagysága és iránya egy adott, nem túl nagy térrészben állandó. A Föld egy meghatározott helyén a testekre ható nehézségi erő nagysága tehát , és iránya mindenkor a Föld középpontja felé mutat.

A most definiált nehézségi erő természetesen a tömegvonzás következménye, és a gravitációs erőtörvény speciális esetének tekinthető. A gravitációs erőtörvényben a két test tömegközéppontjának távolsága szerepel, a Föld sugarához képest azonban a másik test méretei elhanyagolhatóan kicsik, ezért az összefüggésben szereplő r mennyiség is állandónak tekinthető.

A súlyerő

Egy test súlyának azt az erőt tekintjük, amelyet a Földön nyugalomban lévő test az alátámasztását, illetve felfüggesztését biztosító testre kifejt (feltéve, hogy az alátámasztás vízszintes és súrlódásmentes). Ez az erő természetesen inerciarendszerben egyenlő a testre ható nehézségi erővel, de például egy, a Földhöz képest gyorsuló alátámasztás esetén a gyorsulás irányától függően a súlyerő a nehézségi erőnél kisebb vagy nagyobb is lehet.

A súrlódási erő

A súrlódási erő a testek felületi egyenetlenségeiből származtatható olyan erő, amely a testek mindenkori mozgást akadályozni igyekszik. Alapvetően két fajtáját szoktuk megkülönböztetni: a nyugalmi vagy tapadási és a mozgási vagy csúszási súrlódási erőt.

A nyugalmi vagy tapadási súrlódási erőt tulajdonképpen egy határerőként értelmezhetjük. Ha például egy vízszintes asztallapon nyugvó testet az asztalon el szeretnénk mozdítani, azt tapasztalhatjuk, hogy a test mindaddig nem mozdul, míg az általunk kifejtett erő egy meghatározott értéket el nem ér. Ennek a határerőnek a nagysága egyenesen arányos a felületeket merőlegesen összenyomó erő nagyságával, az arányossági tényező pedig elsősorban az érintkező felületeknek, azok anyagának és minőségének függvénye:

Az összefüggésünkben szereplő arányossági tényezőt nyugalmi súrlódási tényezőnek vagy tapadási tényezőnek szoktuk nevezni. A tapadási súrlódási erő határerő, ami azt jelenti, hogy az összefüggésünkben szereplő erőnél nagyobb értéket a felületek érintkezésénél soha nem vehet fel. Ha azonban az általunk kifejtett erő ennél a határerőnél kisebb, vagyis a test még nem mozdul meg, a felületek között ébredő erő mindig épen akkora, amekkora egyensúlyt tart az általunk kifejtett erővel, vagyis nem éri el az említett legnagyobb értéket.

Amikor az előbbi test megindult, egyenletes sebességű mozgatásához továbbra is meghatározott erőre van szükség, márpedig tudjuk, hogy Newton első törvénye értelmében a rá ható erők eredőjének zérusnak kell lenni. Az általunk kifejtendő erő tehát egy a mozgást akadályozó erő, a mozgási vagy csúszási súrlódási erő leküzdéséhez szükséges. A mozgási súrlódási erő nagysága is arányos a felületeket merőlegesen összenyomó erő nagyságával, vagyis:

.

Az összefüggésben szereplő arányossági tényező a mozgási vagy csúszási súrlódási tényező, értéke adott testek és felületek esetén kisebb a tapadási súrlódási tényező értékénél, a test megindításához tehát nagyobb erőre van szükség, mint a későbbi, egyenletes sebességgel történő mozgatásához.
Fontosnak tartjuk hangsúlyozni, hogy a súrlódási erő mindig a mozgást akadályozó, passzív erő.

Körmozgást végző pontszerű testre ható erők

Az egyenletes körmozgás

Az állandó szögsebességgel történő körmozgás vizsgálatánál már megállapítottuk, hogy a tömegpont kerületi sebességének nagysága állandó ugyan, a sebesség irányának változásából azonban mégis adódik egy gyorsulásvektor, a mindenkori sugárirányban a kör középpontjába mutató, nagyságú centripetális gyorsulás. Ennek megfelelően Newton II. törvényének segítségével megfogalmazhatjuk az egyenletes körmozgás dinamikai feltételét: Egy tömegpont akkor végez egyenletes körmozgást, ha a rá ható erők eredőjének nagysága állandó, és mindenkor a pályagörbe görbületi sugarának irányába, a középpont felé mutat, illetve, ami ez utóbbi feltétellel egyenértékű, mindenkor merőleges a pillanatnyi sebesség vektorára.

Az egyenletesen változó körmozgás

Amennyiben a körmozgást végző tömegpont kerületi sebességének nagysága egyenletesen változik, a centripetális gyorsulás vektorán kívül létezik egy, a pillanatnyi sebesség irányába eső, vagyis érintőirányú másik gyorsulásösszetevő, a tangenciális gyorsulás, amelynek nagyságát a sebesség nagyságának változásából az skaláris összefüggéssel határozhatjuk meg.

A testre ható erők eredőjét ennek megfelelően célszerű felbontani egy, az egyenletes körmozgásnál már definiált, de a szögsebesség változásából következően időben már nem állandó centripetális erőre, és egy a körpálya mindenkori érintőjének irányába mutató, a tangenciális gyorsulással megegyező irányú, nagyságú tangenciális erőre, mely a sebesség változásának egyenletessége következtében állandó nagyságú. Ennek az erőnek a forgómozgás középpontjára forgatónyomatéka van, melyet az erő nagysága és az erő karja, azaz az erő hatásvonalának a középponttól mért távolsága határoz meg:

.

Az ebben a kifejezésben szereplő, összefüggéssel definiált mennyiséget a tömegpont adott középpontra (tengelyre) vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékának nevezzük. Amint azt a későbbiekben is látni fogjuk, a változó sebességű forgó mozgás dinamikai feltételeinek meghatározásában a forgatónyomaték alapvető jelentőséggel bír.

Azt is rögtön észrevehetjük, hogy az összefüggés, amely szerint a tömegpontra ható nyomatékok eredője egyenesen arányos a tömegpont szöggyorsulásával, és az arányossági tényező, a tehetetlenség mértéke, a tömegpont adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, egyértelmű analógiát mutat a haladó mozgás dinamikai leírásánál meghatározott, Newton II. törvényeként megadott, skaláris alakban felírt dinamikai feltétellel.

Tömegpontrendszerek és merev testek forgó mozgásának dinamikai leírása

Amennyiben az előbbi gondolatmenettel nem egy tömegpont, hanem egy meghatározott számú tömegpontból alkotott rendszer dinamikai vizsgálatát végezzük el, eredményeink általánosításával megadhatjuk a merev testek forgó mozgásának leírásához szükséges dinamikai feltételeket. Mindenekelőtt ki kell kötnünk, hogy tömegpontjaink egymáshoz képesti relatív helyzete rögzített, hiszen a merev testet alkotó tömegpontok ezzel a tulajdonsággal jellemezhetők.

Az egyes tömegpontok egyensúlyát külön- külön vizsgálva valamennyi tömegpontra érvényes Newton II. törvénye a tangenciális irányú erőkre vonatkozóan:

,

amelyben feltételünk szerint valamennyi tömegpont szöggyorsulása egyenlő.

Az egyes tömegpontokra ható tangenciális erők ismeretében meghatározhatók az egyes tömegpontokra ható nyomatékok az

összefüggés segítségével.

Az egyes tömegpontokra ható nyomatékokat összegezve kapjuk meg a rendszerre ható nyomatékok eredőjét:

.

Az összefüggésben szereplő mennyiség a tömegpontrendszerünk tehetetlenségi nyomatéka.

Amennyiben tömegpontrendszerünket egyre több, határértékben a végtelenhez tartó számú pontszerű testből építjük fel, tetszőleges pontossággal közelíthetjük a valóságos merev test jellemzőit és tulajdonságait. Meghatározhatjuk tehát tetszőleges merev test tehetetlenségi nyomatékát a

összefüggés segítségével. A feladatainkban gyakran előforduló testekre azonban általában nem kell elvégezzük a kijelölt integrálás műveletét, hiszen ezekre a testekre a tehetetlenségi nyomaték értékét, vagy a konkrét testre vonatkozó összefüggést, amellyel a tehetetlenségi nyomaték értéke meghatározható, általában megadják, vagy táblázatokban megtalálható. ( Például egy tömör henger tehetetlenségi nyomatéka saját tengelyére a összefüggéssel, a henger tömegének és sugarának ismeretében meghatározható).

Ezek után általánosságban is megfogalmazhatjuk a forgó mozgás dinamikai alaptörvényét, vagyis Newton II. törvényét forgó mozgás esetére: valamely testre ható nyomatékok eredője egyenesen arányos a test szöggyorsulásával, az arányossági tényező értéke pedig a test tehetetlenségi nyomatéka:

.

Természetesen a merev testek forgó mozgására vonatkozó dinamikai alapörvény nemcsak az előbb ismertetett, szemléletes gondolatmenettel határozható meg, hanem a Newton törvények kapcsán említett, általános természeti törvényekből kiinduló, egzakt matematikai módszerrel is.
A merev testek tehát olyan speciális tömegpontrendszerek, melyekben az alkotó tömegpontok relatív helyzete egyértelműen rögzített. Ha tehát egy merev testre egy erőrendszer hat, ennek az erőrendszernek a hatásai csak akkor helyettesíthetők egyetlen eredő erővel, ha valamennyi erő közös támadáspontú, hiszen az összegzés során az egyes erők csak hatásvonaluk mentén eltolhatók. Általános esetben egy tetszőleges erőrendszer egy eredő erővel és egy erőpárral jellemezhető.

Az erőpár két, azonos nagyságú, párhuzamos hatásvonalú, ellentétes értelmű erőből álló erőrendszer, melyben a hatásvonalak távolsága a szokásos jelöléssel k. Az erőpár bármely pontra számított nyomatéka állandó, nagysága . A nyomatékot azonban általánosan vektorként értelmeztük, irányát az erőpár síkjára merőlegesen a jobbkézszabály határozza meg. Egy erő adott pontra vonatkozó nyomatékának nagyságát tehát az erőnek és az erő karjának szorzata határozza meg, azaz a nyomatékvektor abszolút értékét az

összefüggés, míg irányát az említett jobbkézszabály határozza meg.

A forgó mozgás dinamikai leírásához az anyagi pontok dinamikájánál elmondottakhoz hasonlóan mindenekelőtt meg kell adnunk azt az általános természeti törvényt, amelynek segítségével a forgó mozgást létrehozó hatások és a kialakult mozgás jellemzői között érvényes összefüggések megadhatók. Ez az általános törvény az impulzusnyomatéki vagy perdülettétel.

Egy pontszerű test adott pontra vonatkoztatott impulzusnyomatéka vagy perdülete az impulzus és az impulzusvektor adott pontra vonatkoztatott karjának szorzata:

.

A perdület vektormennyiség, melynek abszolút értékét az előbbi szorzat definiálja, iránya pedig a két vektor, r és I síkjára merőleges, méghozzá úgy, hogy a három vektor ezen r, I és N sorrendben jobbsodrású rendszert alkot.

A most definiált impulzusnyomaték vektora lényegesen egyszerűbben definiálható a vektori szorzás matematikai fogalmának segítségével, hiszen tudjuk, hogy két vektor (legyen r és I) vektori szorzatának abszolút értéke a két vektor abszolút értékének és az általuk bezárt szög szinuszának szorzata, irányát pedig éppen az előbbi módon határozhatjuk meg, vagyis

.

Az impulzusnyomatéki- vagy perdülettétel szerint egy pontszerű testre ható perdület idő szerinti megváltozása egyenlő a pontra ható nyomatékok eredőjével

.

Az impulzusnyomatéki tétel segítségével tehát a dinamika forgó mozgásra vonatkozó alaptörvényei levezethetők. Érdekes észrevennünk a fogó és haladó mozgások dinamikai vizsgálatánál alkalmazott gondolatmenetek hasonlóságát:

Haladó mozgás esetén:

és , míg

forgómozgás esetén:

és összefüggések érvényesek.

Feladataink megoldása során természetesen ezeknek az általános összefüggéseknek legtöbbször skaláris egyenleteit, és azoknak is az adott feladatra vonatkozó egyszerűsített alakjait alkalmazzuk.

- vissza -