A dinamika alaptörvényeinek megfogalmazása előtt egy olyan általános természeti törvényt kell megfogalmaznunk, amelynek speciális eseteként valamennyi dinamikai alaptörvény megadható. Ez az általános természeti törvény az impulzus megmaradás törvénye. Egy m tömegű és v sebességű tömegpont mozgásmennyisége vagy más néven impulzusa az
összefüggéssel definiálható, az olyan rendszereket pedig, melyekre ható külső erők eredője zérus, zárt rendszereknek nevezzük. Az impulzus megmaradás törvénye azt mondja ki, hogy bármely ilyen zárt rendszer összimpulzusa, illetve összes mozgásmennyisége állandó. Ennek a törvénynek a segítségével vezethetők le tehát a dinamika alaptörvényei, melyeket más néven Newton törvényeknek vagy newtoni axiómáknak neveznek.
Az első axióma, Newton I. törvénye a testek tehetetlenségét fogalmazza meg: valamely test mindaddig megtartja nyugalmi állapotát vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását, ameddig egy másik test annak megváltoztatására nem kényszeríti. Ez a megfogalmazás a testre ható erők szempontjából a gyakorlatban azt jelenti, hogy nyugalomban lévő vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző testre ható erők eredője mindig zérus.
Newton II törvénye szerint a tömegpont a gyorsulása egyenesen arányos a testre ható erők eredőjével, és az arányossági tényező, a test tehetetlenségének mértéke, éppen a test tömegével egyenlő:
A tehetetlen tömeget - a későbbiekben egyszerűen csak tömeget - az SI mértékrendszerben alapmennyiségnek tekintjük, és az erőt származtatott mennyiségként kezeljük: egységnyi az az erő, amely 1 kg tömeget 1 m/s2 gyorsulással képes mozgatni.
A fenti megállapításunkkal kapcsolatosan fontos hangsúlyozni,
hogy Newton II. törvénye az általánosan érvényes megfogalmazás esetén azt mondja
ki, hogy egy pontszerű testre ható erők eredője egyenlő a test mozgásmennyiségének
időegység alatti megváltozásával: .
A klasszikus mechanika vizsgálataiban azonban, tehát amikor a fénysebességet
meg nem közelítő sebességű mozgások összefüggéseit vizsgáljuk, a testek tömege
állandónak tekinthető, így az
összefüggések egymással egyenértékűek.
Newton III. törvényének általánosan elterjedt elnevezése a hatás-ellenhatás vagy akció-reakció elve: két test kölcsönhatásakor két azonos nagyságú, de ellentétes értelmű erő lép fel. Miután ebben a törvényben a két, egymással kölcsönhatásba kerülő test egyike sincs kitüntetve, a törvény úgy is megfogalmazható, hogy két test kölcsönhatásakor az egyik test pontosan akkora, de ellentétes irányú erővel hat a másikra, mint amekkora erővel ez a másik test hat rá.
Végezetül fogalmazzuk meg a feladatmegoldásainkban hallgatólagosan mindig alkalmazott elvet, Newton IV. törvényét, mely szerint az erők vektorokként összegződnek, és hatásukat egymástól függetlenül fejtik ki, vagyis az erők összegzésekor érvényes a szuperpozíció elve. Ezen elv szerint tehát a testre ható erők eredője, az eredő hatás, a testre ható erők vektorainak összegeként meghatározott vektorral jellemezhető.
Az olyan vonatkoztatási rendszereket, amelyekben a megfogalmazott
Newton törvények maradéktalanul teljesülnek, inerciarendszereknek nevezzük.
A legáltalánosabb megállapítás szerint inerciarendszernek tekinthető az állócsillagokhoz
rögzített koordinátarendszer mint vonatkoztatási rendszer, de jó közelítéssel
a Földhöz kötött vonatkoztatási rendszer is annak tekinthető. Ezek előrebocsátása
után azt mondhatjuk, hogy inerciarendszernek tekinthető minden olyan vonatkoztatási
rendszer, amely valamely inerciarendszerhez képest egyenes vonalú egyenletes
mozgást végez.
Az inerciarendszerhez képest gyorsuló mozgást végző vonatkoztatási rendszer
azonban már nem tekinthető inerciarendszernek, és a newtoni axiómák már nem,
- illetve csak a rendszer gyorsulásából származtatható fiktív erők, a tehetetlenségi
erők figyelembevételével - lesznek érvényesek.
Feladataink megoldása során gyakran találkozunk azzal a kérdéssel, amelyben valamely testre ható erők ismeretében meg kell határozzuk a test mozgástörvényeit, vagyis a test elmozdulás-idő r(t), sebesség-idő v(t) és gyorsulás-idő a(t) függvényeit. Ebben az esetben a testre ható erők eredőjének, esetlegesen az erő időfüggvényének meghatározása után Newton második törvényének segítségével meghatározhatjuk a test gyorsulását, és abból a mozgásra vonatkozó kezdeti értékek figyelembevételével a test sebességét és elmozdulását is. Ezeknek a kinematikai jellemzőknek a meghatározásához tehát ismernünk kell a testre ható erőket és azok törvényszerűségeit, ezért a következőkben néhány alapvető, speciális erő tulajdonságait foglaljuk össze.
Tapasztalatból tudjuk, és kísérletek igazolták, hogy két test között fellépő vonzóerő nagysága egyenesen arányos a két test tömegével, és fordítottan arányos a közöttük lévő távolság négyzetével:
Az összefüggésben szereplő arányossági tényező a Newton-féle gravitációs
állandó, melynek értéke .
Ezt a törvényt szokták a tömegvonzás törvényének, illetve Newton féle gravitációs
erőtörvénynek is nevezni. Azt, hogy az ezen összefüggésben szereplő, "gravitáló"
vagy "súlyos" tömegnek nevezhető mennyiség megegyezik a Newton II. törvényében
említett, tehetetlenség mértékeként meghatározott tehetetlen tömeggel, nagy
pontossággal Eötvös Lóránd bizonyította be.
A Földön adott helyén, légüres térben minden szabadon eső test
ugyanakkora gyorsulással mozog, tömegétől és sebességétől gyakorlatilag függetlenül.
Ezt a gyorsulást nehézségi gyorsulásnak nevezzük és g-vel jelöljük, nagysága
és iránya egy adott, nem túl nagy térrészben állandó. A Föld egy meghatározott
helyén a testekre ható nehézségi erő nagysága tehát ,
és iránya mindenkor a Föld középpontja felé mutat.
A most definiált nehézségi erő természetesen a tömegvonzás következménye, és a gravitációs erőtörvény speciális esetének tekinthető. A gravitációs erőtörvényben a két test tömegközéppontjának távolsága szerepel, a Föld sugarához képest azonban a másik test méretei elhanyagolhatóan kicsik, ezért az összefüggésben szereplő r mennyiség is állandónak tekinthető.
A súlyerő
Egy test súlyának azt az erőt tekintjük, amelyet a Földön nyugalomban lévő test az alátámasztását, illetve felfüggesztését biztosító testre kifejt (feltéve, hogy az alátámasztás vízszintes és súrlódásmentes). Ez az erő természetesen inerciarendszerben egyenlő a testre ható nehézségi erővel, de például egy, a Földhöz képest gyorsuló alátámasztás esetén a gyorsulás irányától függően a súlyerő a nehézségi erőnél kisebb vagy nagyobb is lehet.
A súrlódási erő
A súrlódási erő a testek felületi egyenetlenségeiből származtatható olyan erő, amely a testek mindenkori mozgást akadályozni igyekszik. Alapvetően két fajtáját szoktuk megkülönböztetni: a nyugalmi vagy tapadási és a mozgási vagy csúszási súrlódási erőt.
A nyugalmi vagy tapadási súrlódási erőt tulajdonképpen egy határerőként értelmezhetjük. Ha például egy vízszintes asztallapon nyugvó testet az asztalon el szeretnénk mozdítani, azt tapasztalhatjuk, hogy a test mindaddig nem mozdul, míg az általunk kifejtett erő egy meghatározott értéket el nem ér. Ennek a határerőnek a nagysága egyenesen arányos a felületeket merőlegesen összenyomó erő nagyságával, az arányossági tényező pedig elsősorban az érintkező felületeknek, azok anyagának és minőségének függvénye:
Az összefüggésünkben szereplő arányossági tényezőt nyugalmi súrlódási tényezőnek vagy tapadási tényezőnek szoktuk nevezni. A tapadási súrlódási erő határerő, ami azt jelenti, hogy az összefüggésünkben szereplő erőnél nagyobb értéket a felületek érintkezésénél soha nem vehet fel. Ha azonban az általunk kifejtett erő ennél a határerőnél kisebb, vagyis a test még nem mozdul meg, a felületek között ébredő erő mindig épen akkora, amekkora egyensúlyt tart az általunk kifejtett erővel, vagyis nem éri el az említett legnagyobb értéket.
Amikor az előbbi test megindult, egyenletes sebességű mozgatásához továbbra is meghatározott erőre van szükség, márpedig tudjuk, hogy Newton első törvénye értelmében a rá ható erők eredőjének zérusnak kell lenni. Az általunk kifejtendő erő tehát egy a mozgást akadályozó erő, a mozgási vagy csúszási súrlódási erő leküzdéséhez szükséges. A mozgási súrlódási erő nagysága is arányos a felületeket merőlegesen összenyomó erő nagyságával, vagyis:
.
Az összefüggésben szereplő arányossági tényező a mozgási vagy csúszási súrlódási
tényező, értéke adott testek és felületek esetén kisebb a tapadási súrlódási
tényező értékénél, a test megindításához tehát nagyobb erőre van szükség, mint
a későbbi, egyenletes sebességgel történő mozgatásához.
Fontosnak tartjuk hangsúlyozni, hogy a súrlódási erő mindig a mozgást akadályozó,
passzív erő.
Az állandó szögsebességgel történő körmozgás vizsgálatánál már
megállapítottuk, hogy a tömegpont kerületi sebességének nagysága állandó ugyan,
a sebesség irányának változásából azonban mégis adódik egy gyorsulásvektor,
a mindenkori sugárirányban a kör középpontjába mutató, nagyságú
centripetális gyorsulás. Ennek megfelelően Newton II. törvényének segítségével
megfogalmazhatjuk az egyenletes körmozgás dinamikai feltételét: Egy tömegpont
akkor végez egyenletes körmozgást, ha a rá ható erők eredőjének nagysága állandó,
és mindenkor a pályagörbe görbületi sugarának irányába, a középpont felé mutat,
illetve, ami ez utóbbi feltétellel egyenértékű, mindenkor merőleges a pillanatnyi
sebesség vektorára.
Amennyiben a körmozgást végző tömegpont kerületi sebességének
nagysága egyenletesen változik, a centripetális gyorsulás vektorán kívül létezik
egy, a pillanatnyi sebesség irányába eső, vagyis érintőirányú másik gyorsulásösszetevő,
a tangenciális gyorsulás, amelynek nagyságát a sebesség nagyságának változásából
az skaláris
összefüggéssel határozhatjuk meg.
A testre ható erők eredőjét ennek megfelelően célszerű felbontani
egy, az egyenletes körmozgásnál már definiált, de a szögsebesség változásából
következően időben már nem állandó centripetális erőre, és egy a körpálya mindenkori
érintőjének irányába mutató, a tangenciális gyorsulással megegyező irányú,
nagyságú tangenciális erőre, mely a sebesség változásának egyenletessége következtében
állandó nagyságú. Ennek az erőnek a forgómozgás középpontjára forgatónyomatéka
van, melyet az erő nagysága és az erő karja, azaz az erő hatásvonalának a középponttól
mért távolsága határoz meg:
.
Az ebben a kifejezésben szereplő,
összefüggéssel definiált mennyiséget a tömegpont adott középpontra (tengelyre)
vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékának nevezzük. Amint azt a későbbiekben
is látni fogjuk, a változó sebességű forgó mozgás dinamikai feltételeinek meghatározásában
a forgatónyomaték alapvető jelentőséggel bír.
Azt is rögtön észrevehetjük, hogy az
összefüggés, amely szerint a tömegpontra ható nyomatékok eredője egyenesen arányos
a tömegpont szöggyorsulásával, és az arányossági tényező, a tehetetlenség mértéke,
a tömegpont adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, egyértelmű analógiát
mutat a haladó mozgás dinamikai leírásánál meghatározott, Newton II. törvényeként
megadott,
skaláris alakban
felírt dinamikai feltétellel.
Amennyiben az előbbi gondolatmenettel nem egy tömegpont, hanem egy meghatározott számú tömegpontból alkotott rendszer dinamikai vizsgálatát végezzük el, eredményeink általánosításával megadhatjuk a merev testek forgó mozgásának leírásához szükséges dinamikai feltételeket. Mindenekelőtt ki kell kötnünk, hogy tömegpontjaink egymáshoz képesti relatív helyzete rögzített, hiszen a merev testet alkotó tömegpontok ezzel a tulajdonsággal jellemezhetők.
Az egyes tömegpontok egyensúlyát külön- külön vizsgálva valamennyi tömegpontra érvényes Newton II. törvénye a tangenciális irányú erőkre vonatkozóan:
,
amelyben feltételünk szerint valamennyi tömegpont szöggyorsulása egyenlő.
Az egyes tömegpontokra ható tangenciális erők ismeretében meghatározhatók az egyes tömegpontokra ható nyomatékok az
összefüggés segítségével.
Az egyes tömegpontokra ható nyomatékokat összegezve kapjuk meg a rendszerre ható nyomatékok eredőjét:
.
Az összefüggésben szereplő
mennyiség a tömegpontrendszerünk tehetetlenségi nyomatéka.
Amennyiben tömegpontrendszerünket egyre több, határértékben a végtelenhez tartó számú pontszerű testből építjük fel, tetszőleges pontossággal közelíthetjük a valóságos merev test jellemzőit és tulajdonságait. Meghatározhatjuk tehát tetszőleges merev test tehetetlenségi nyomatékát a
összefüggés segítségével. A feladatainkban gyakran előforduló
testekre azonban általában nem kell elvégezzük a kijelölt integrálás műveletét,
hiszen ezekre a testekre a tehetetlenségi nyomaték értékét, vagy a konkrét testre
vonatkozó összefüggést, amellyel a tehetetlenségi nyomaték értéke meghatározható,
általában megadják, vagy táblázatokban megtalálható. ( Például egy tömör henger
tehetetlenségi nyomatéka saját tengelyére a összefüggéssel,
a henger tömegének és sugarának ismeretében meghatározható).
Ezek után általánosságban is megfogalmazhatjuk a forgó mozgás dinamikai alaptörvényét, vagyis Newton II. törvényét forgó mozgás esetére: valamely testre ható nyomatékok eredője egyenesen arányos a test szöggyorsulásával, az arányossági tényező értéke pedig a test tehetetlenségi nyomatéka:
.
Természetesen a merev testek forgó mozgására vonatkozó dinamikai
alapörvény nemcsak az előbb ismertetett, szemléletes gondolatmenettel határozható
meg, hanem a Newton törvények kapcsán említett, általános természeti törvényekből
kiinduló, egzakt matematikai módszerrel is.
A merev testek tehát olyan speciális tömegpontrendszerek, melyekben az alkotó
tömegpontok relatív helyzete egyértelműen rögzített. Ha tehát egy merev testre
egy erőrendszer hat, ennek az erőrendszernek a hatásai csak akkor helyettesíthetők
egyetlen eredő erővel, ha valamennyi erő közös támadáspontú, hiszen az összegzés
során az egyes erők csak hatásvonaluk mentén eltolhatók. Általános esetben egy
tetszőleges erőrendszer egy eredő erővel és egy erőpárral jellemezhető.
Az erőpár két, azonos nagyságú, párhuzamos hatásvonalú, ellentétes
értelmű erőből álló erőrendszer, melyben a hatásvonalak távolsága a szokásos
jelöléssel k. Az erőpár bármely pontra számított nyomatéka állandó, nagysága
. A nyomatékot
azonban általánosan vektorként értelmeztük, irányát az erőpár síkjára merőlegesen
a jobbkézszabály határozza meg. Egy erő adott pontra vonatkozó nyomatékának
nagyságát tehát az erőnek és az erő karjának szorzata határozza meg, azaz a
nyomatékvektor abszolút értékét az
összefüggés, míg irányát az említett jobbkézszabály határozza meg.
A forgó mozgás dinamikai leírásához az anyagi pontok dinamikájánál elmondottakhoz hasonlóan mindenekelőtt meg kell adnunk azt az általános természeti törvényt, amelynek segítségével a forgó mozgást létrehozó hatások és a kialakult mozgás jellemzői között érvényes összefüggések megadhatók. Ez az általános törvény az impulzusnyomatéki vagy perdülettétel.
Egy pontszerű test adott pontra vonatkoztatott impulzusnyomatéka vagy perdülete az impulzus és az impulzusvektor adott pontra vonatkoztatott karjának szorzata:
.
A perdület vektormennyiség, melynek abszolút értékét az előbbi szorzat definiálja, iránya pedig a két vektor, r és I síkjára merőleges, méghozzá úgy, hogy a három vektor ezen r, I és N sorrendben jobbsodrású rendszert alkot.
A most definiált impulzusnyomaték vektora lényegesen egyszerűbben definiálható a vektori szorzás matematikai fogalmának segítségével, hiszen tudjuk, hogy két vektor (legyen r és I) vektori szorzatának abszolút értéke a két vektor abszolút értékének és az általuk bezárt szög szinuszának szorzata, irányát pedig éppen az előbbi módon határozhatjuk meg, vagyis
.
Az impulzusnyomatéki- vagy perdülettétel szerint egy pontszerű testre ható perdület idő szerinti megváltozása egyenlő a pontra ható nyomatékok eredőjével
.
Az impulzusnyomatéki tétel segítségével tehát a dinamika forgó mozgásra vonatkozó alaptörvényei levezethetők. Érdekes észrevennünk a fogó és haladó mozgások dinamikai vizsgálatánál alkalmazott gondolatmenetek hasonlóságát:
Haladó mozgás esetén:
és
,
míg
forgómozgás esetén:
és
összefüggések érvényesek.
Feladataink megoldása során természetesen ezeknek az általános összefüggéseknek legtöbbször skaláris egyenleteit, és azoknak is az adott feladatra vonatkozó egyszerűsített alakjait alkalmazzuk.
- vissza -