Kinematika

Elméleti összefoglaló

A klasszikus mechanika a fizikának az az ága, amely a testek nem túlságosan nagy, vagyis a fénysebességet meg nem közelítő sebességgel történő mozgásának törvényszerűségeit vizsgálja. Az általánosan elfogadott felosztás szerint két alapvető részterülete van:

Az anyagi pont helyzetének leírása,a pályagörbe

A mozgás a klasszikus értelemben vett definíció szerint relatív helyzetváltoztatás. A következőkben a legegyszerűbb modell, az anyagi pont vagy tömegpont mozgásának általános törvényszerűségeit szeretnénk megállapítani.

Az anyagi pont vagy tömegpont olyan, tömeggel rendelkező test, amely pontszerűnek tekinthető, vagyis méretei a mozgás más jellemzőihez képest elhanyagolhatók.

Az tehát, hogy adott esetben egy test pontszerűnek tekinthető-e vagy nem, a mozgás jelemzőitől is függ: nem tekinthető például tömegpontnak egy gépjármű, ha átáll az úttest egyik oldaláról a másikra, de egyértelműen annak tekinthetjük, ha egyik városból a másikba közlekedünk vele.
Természetesen ezen egyszerű modell törvényszerűségeinek ismeretében vizsgálhatók tömegpontrendszerek is, mint például a speciális tömegpontrendszernek tekinthető merev testek és szilárd testek, amelyeket az őket alkotó tömegpontok összessége és a tömegpontok között fennálló kapcsolatok együttesen jellemeznek.

A mozgás meghatározásában szereplő relatív helyzetváltoztatás azt jelenti, hogy a tömegpont mozgásának egyértelmű leírása csak úgy lehetséges, ha megadjuk, hogy a tömegpont mindenkori helyzetét mihez viszonyítjuk. A mozgás leírásához tehát mindig meg kell adjuk a vonatkoztatási rendszert, ami lehet például egy merev test, illetve, ami ezzel matematikailag egyenértékű, egy megfelelően definiált koordinátarendszer.
A tömegpont térbeli helyzete egyértelműen megadható az általánosan alkalmazott Descartes-féle koordinátarendszer segítségével. Mint ismeretes, ezt a rendszert három, páronként egymásra merőleges, egy közös pontból, a koordinátarendszer origójából induló egységvektorral ( melyeknek szokásos jelölése rendre i, j és k ), illetve az ezen egységvektorokra illeszkedő egyenesekkel, a koordinátarendszer x, y, és z tengelyeivel adhatjuk meg.

A tömegpont térbeli helyzete

Az anyagi pont tetszőleges t időpontban elfoglalt helyzetét tehát egyértelműen jellemezhetjük egy helyvektorral, amelyet koordinátáival is megadhatunk:

.

 

Az anyagi pont mozgása közben különböző egymás utáni helyzeteket vesz fel, az ezeket tartalmazó folytonos görbe a pályagörbe.

A pályagörbe adott szakaszának, illetve pontjainak jellemzői:

összefüggéssel definiálható, és általános esetben a pályagörbe adott pontjának jellemzője.

A görbületi sugár kifejezésében szereplő hányados az ívhossz szögelfordulás szerinti differenciálhányadosa, amely, mint látjuk, egy határértékkel egyenlő. Szemléletesen azt jelenti, hogy a s / hányados akkor közelíti megfelelő pontossággal a görbületi sugár értékét az adott pont környezetében, ha értékét egyre kisebbre, csaknem nullára választjuk ( matematikai megfogalmazásban: , vagyis delta fi tart a nullához ).

A tömegpont elmozdulása, sebessége, gyorsulása

Amennyiben egy tömegpont t időpontbeli helyzete az r(t) helyvektorral, illetve t+t időpontbeli helyzete az r(t+t) helyvektorral írható le, akkor a tömegpont ezen t időtartamhoz tartozó elmozdulásvektora:

.

Az ily módon definiált elmozdulásvektor mindenkor a pályagörbe P és P' pontjá-hoz tartozó szelőre illeszkedik.
A tömegpont t időintervallumra vonatkoztatott átlagsebessége:

.

Az így nyert hányados skaláris alakja a megfelelője annak az általánosan elterjedt sebességfogalomnak, mely szerint a sebesség a megtett út és a megtételéhez szükséges idő hányadosa, skalárisan v = s/t . Ez a jellemző azonban nem írja le egyértelműen az adott időpontbeli sebességet, hiszen nemcsak az időnek, hanem az önkényesen megválasztott t időintervallumnak is függvénye, ezért vezettük be a pillanatnyi sebesség ( a későbbiekben egyszerűen csak sebesség ) fogalmát:

.

A sebességvektor tehát az elmozdulásvektor idő szerinti első differenciálhányadosa. A sebesség vektormennyiség, iránya a pályagörbe mindenkori érintőjének irányával megegyező. A pillanatnyi sebesség természetesen megadható koordinátáival is:

.

A sebességvektornak az idő függvényében nagysága és iránya egyaránt változhat:

 

A sebesség vektor változása

 

A sebesség t időtartamra vonatkozó változásának jellemzésére vezettük be az átlagos gyorsulás fogalmát:

,

illetve definiáltuk a pillanatnyi gyorsulás ( a továbbiakban egyszerűen csak gyorsulás) fogalmát:

.

Az ily módon definiált gyorsulásvektor tehát a sebességvektor idő szerinti első, ennek megfelelően az elmozdulás vektor idő szerinti második differenciálhányadosa.

Természetesen, ahogyan a sebességet az elmozdulás, illetve a gyorsulást a sebesség differenciálhányadosaként értelmeztük, a deriválás inverz matematikai műveletének, az integrálásnak a segítségével a gyorsulásfüggvényből a sebesség, illetve a sebességfüggvényből az elmozdulás idő-függvénye meghatározható, persze az adott mozgásra vonatkozó kezdeti feltételek figyelembevételével. Szemléletesen ez annyit jelent, hogy például a sebesség időfüggvénye alatti terület adott időpontok között meghatározott értéke ( a sebességfüggvény ezen időpontok közötti határozott integrálja) megadja az adott időpontok között megtett út nagyságát. Természetesen ugyanígy igaz az is, hogy a gyorsulásfüggvény alatti, adott időponthatárok között meghatározott terület ( a gyorsulásfüggvény adott időpontok közötti határozott integrálja) az ugyanezen időtartam alatt bekövetkezett sebességváltozást adja meg.

A sebesség idő szerint integrálja

 

Speciális mozgások mozgástörvényei

Egyenesvonalú mozgások

Az eddigiekben értelmezett mennyiségek tetszőleges, térbeli pályán haladó test mozgástörvényeinek leírására is alkalmasak. Amint utaltunk rá, a tömegpont helyzete leíró helyvektora koordinátáival is megadható, és így a legáltalánosabb mozgás leírása is visszavezethető egyenesvonalú mozgások vizsgálatára. A következőkben tehát határozzuk meg ezen egyenesvonalú mozgások esetén érvényes alapvető összefüggéseket. Egyenesvonalú mozgások esetén vonatkoztatási rendszerünket célszerűen úgy választjuk meg, hogy koordinátarendszerünk x tengelye a mozgás irányával egybe essen, hiszen így a tömegpont helyvektorának időfüggvénye alakban írható, vagyis elégséges csak a könnyen kezelhető x(t) skaláris elmozdulás-függvény vizsgálata, és ennek figyelembevételével nemcsak az elmozdulás, hanem a sebesség és a gyorsulás időfüggvényei is skalár egyenletekkel lesznek vizsgálhatók.

Egyenesvonalú, egyenletes mozgás

Egyenesvonalú, egyenletes mozgás esetén a sebességnek sem a nagysága, sem az iránya nem változik: .

Mivel a tömegpont sebessége állandó, gyorsulása a = 0 értékű a mozgás bár-mely időpillanatában.
Az elmozdulás időfüggvényét a sebességfüggvény integrálásával határozhatjuk meg, ha figyelembe vesszük a megadott mozgásra érvényes kezdeti feltételt. Legyen például a időpontban a test az helyen, ekkor a keresett elmozdulásfüggvény:

.

Gyakran használjuk ennek az összefüggésnek azt a speciális esetét, amikor , vagyis az időmérés kezdete egybeesik a mozgás kezdetével, ekkor az

,

bizonyára mindenki számára ismerős összefüggés adódik.

Az egyenesvonalú, egyenletesen változó mozgás

A címbeli definíció a gyakorlatban azt jelenti, hogy a sebesség iránya nem, nagy-sága pedig egyenletesen változik, vagyis a sebesség változására jellemző mennyiség, a mozgás gyorsulása az időben állandó: a(t) = a = állandó.

A sebesség időfüggvényének meghatározásához vegyük figyelembe, hogy a időpontban a sebesség a kezdeti sebességgel egyenlő, ekkor

.

Az elmozdulás, illetve a megtett út meghatározásához az előbb nyert sebesség-függvényt kell integrálnunk, figyelembe véve azt a kezdeti feltételt, hogy a időpontban a tömegpont az helyzetben volt:

.

Természetesen itt is vizsgálhatjuk azt a speciális esetet, amikor és , vagyis amikor az időmérés és a mozgás kezdete az időben egybeesik, és a tömegpont a koordinátarendszerünk kezdőpontjából indul:

,

a feladatok megoldása során valószínűleg ezzel az összefüggéssel találkozhatunk a legsűrűbben.
A feladatok megoldása során néha síkbeli mozgások jellemzőit kell meghatároznunk, vegyük csak egyszerű példaként a ferde hajítás esetét. Ebben az esetben a tömegpont helyvektora kétdimenziós, és megadható az alakban. A mozgás tehát összetevőire bontható :

A mozgástörvények ismeretében meghatározható a tömegpont tetszőleges időpontban elfoglalt helyzetének vízszintes és függőleges koordinátája, vagyis a tömegpont helyzete egyértelműen megadható.

Speciális görbevonalú mozgások

Az egyenletes körmozgás

Az egyenletes körmozgás azt jelenti, hogy a mozgás sebességének nagysága, vagyis a sebességvektor abszolút értéke állandó, de miután a tömegpont körpályán mozog, a sebességvektor iránya változni fog, hiszen, mint azt már említettük és a későbbiekben is látni fogjuk, a sebességvektor a pályagörbe, esetünkben a körpálya mindenkori érintőjével egyező irányú.

Az egyenletes körmozgás

Határozzuk meg a tömegpont tetszőleges t időpontbeli helyvektorát, ekkor az ábra jelöléseivel:

.

Vegyük figyelembe a mozgás egyenletességét, vagyis hogy a sebesség nagysága, azaz a sebességvektor abszolút értéke állandó:

,

ahol a

összefüggéssel definiált mennyiséget - amely esetünkben, egyenletes körmozgásról lévén szó, az időben állandó érték, a körmozgás szögsebességének nevezzük.
A szögsebesség ismeretében a tömegpont helyvektora:

alakú. A sebességvektor ennek idő szerinti differenciálhányadosa:

,

amely vektor abszolút értéke ténylegesen állandó, iránya pedig mindig merőleges az adott időponthoz tartozó sugárvektorra, tehát a körpálya érintője.
A gyorsulásvektor a sebességvektor differenciálhányadosaként adódik:

.

Az így definiált, a sugár irányába mutató, azzal ellentétes értelmű és állandó nagyságú vektort az egyenletes körmozgást végző tömegpont centripetális gyorsulásának nevezzük. A centripetális gyorsulás tehát mindig sugárirányú és a kör középpontja felé mutat, nagysága pedig .

Az egyenletesen változó körmozgás

Egyenletesen változó sebességű körmozgás esetén a sebességvektornak nemcsak az iránya, hanem a nagysága is változik, ebből következően szögsebessége sem állandó, az egyenletes változás miatt azonban a szögsebesség változására jellemző,

hányadossal definiált mennyiség, a tömegpont szöggyorsulása az időben állandó.
Az állandó szöggyorsulás ismeretében meghatározható a szögsebesség időfüggvénye, figyelembe véve, hogy a időpontban a szögsebesség értéke éppen

.

A szögsebesség időfüggvényének ismeretében a szögelfordulás, figyelembe véve, hogy a időpontban a tömegpont szögelfordulása volt:

.

Természetesen itt is gyakran vizsgáljuk azt a speciális esetet, amikor és , vagyis amikor az időmérés kezdete és a mozgás kezdete egybeesik, valamint a tömegpont az x tengelyről indul. Ebben az esetben ugyanis a könnyebben kezelhető

összefüggés adódik.
A mozgás szögsebessége tehát az időben egyenletesen változik, ennek meg-fe--lelően lineárisan változik a kerületi sebesség nagyság is, vagyis meghatározható a már definiált centripetális gyorsulás mellett egy, a pályagörbe mindenkori érintőjének irányába mutató, a változás egyenletességéből következően állandó nagyságú gyorsulásösszetevő, amelyet iránya után tangenciális gyorsulásnak nevezünk, nagysága pedig az

összefüggéssel számítható.
A változó sebességű körmozgás estén a gyorsulás említett komponensekre történő bontásának lehetősége természetesen a tetszőleges térbeli pályagörbén haladó tömegpont esetében is elvégezhető: a tömegpont bármely időpontbeli gyorsulásvektora megadható egy a pályagörbe érintőjével megegyező irányú ( ), és egy arra merőleges, a pálya görbületi sugarának irányába eső, azaz normális irányú ( ) gyorsulásvektor eredőjeként.

- vissza -