A mechanikai munka, teljesítmény és energia

A mechanikai munka

Amikor egy testre vagy tömegpontra kifejtett erő hatására a test elmozdul, mechanikai munkavégzés történik. Abban a legegyszerűbb esetben, amikor az erő az elmozdulás függvényében állandó, a végzett munkát az erő és az erő irányába eső elmozdulás szorzataként definiálhatjuk, vagyis:

,

azaz a mechanikai munkavégzés az erő és az elmozdulás vektorainak skaláris szorzata, a két vektor abszolút értékéből és a vektorok által bezárt szög koszinuszából meghatározható. A munka tehát skaláris mennyiség, de felvehet negatív értéket is, akkor, ha az erő és az elmozdulásvektor egymással tompaszöget zárnak be.

Általános esetben természetesen az erő - elmozdulás F(s) függvény nem állandó, a munkát azonban a már ismert gondolatmenettel ekkor is definiálhatjuk. Tekintsünk példaként egy tetszőleges térbeli pályagörbén végzett, A és B végpontok között végbemenő mozgást, és tételezzük fel, hogy a pályagörbe tetszőleges pontjához tartozó erővektort ismerjük.

 

Az erő és az elmozdulás

 

A pályagörbe A és B végpontok közötti szakasza felbontható olyan, elmozdulásvektorokkal jellemezhető n darab kis szakaszra, amelyeken belül a testre ható erő, , állandónak tekinthető. Ezekre a szakaszokra az állandó erőnél megadott definíció alapján a végzett munka meghatározható, vagyis az i-edik szakaszon

.

Az ábrából azt is észrevehetjük, hogy ha a munkát meghatározó szorzat tényezőit felcseréljük, akkor az mennyiség éppen az erővektornak a pályagörbe érintőjének irányába eső (tangenciális) komponensének nagyságát adja, vagyis írhatjuk, hogy

.

Ezeket a végzett elemi munkákat összegezve megkaphatjuk az A és B pontok közötti összes munkavégzés értékét, és természetesen akkor kaphatunk pontos értéket, ha n értékét nagyon nagyra, és ennek megfelelően az elemi elmozdulások értékét igen kicsire, csaknem nullára választjuk, vagyis ha a felosztást minden határon túl finomítjuk:

.

Az összefüggésből az is mindjárt látszik, hogy ebben a legáltalánosabb esetben csak akkor van lehetőségünk a végzett mechanikai munka kiszámítására, ha ismerjük a mindenkori tangenciális erő értékét az elmozdulás függvényében, és hogy az így meghatározott munka értéke az függvény alatti, A és B pontok között meghatározott területtel arányos.

A levezetett általánosítás indokoltságának szemléltetésére vizsgáljuk meg példaként egy rugó adott mértékű megnyújtásához szükséges munka meghatározását. Tudjuk, hogy a rugó megnyújtásához szükséges erő a rugó megnyúlásának függvénye, és ezt az erő - elmozdulás függvényt a rugó karakterisztikájának nevezzük. A gyakorlatban, illetve feladatainkban leggyakrabban előforduló hengeres csavarrugók esetén a rugóerő a rugó megnyúlásával egyenesen arányos, vagyis előfeszítés nélküli esetben karakterisztikája egy az origón átmenő egyenes:

A rugó erő

 

Ennek az egyenesnek a meredekségét, a differenciálhányadost szokás a rugó rugóállandójának nevezni.

Amennyiben a rugó egyik vége rögzített, akkor a másik végének elmozdulása megegyezik a rugó megnyúlásával, vagyis a végzett munka a függvény alatti területtel egyenlő:

,

ami éppen a függvény görbéje alatti területtel, az ábrán jelölt háromszög területével egyenlő és közvetlenül is meghatározható lett volna.

A haladó és a forgó mozgás jellemzőinek megfeleltetésére visszagondolva meghatározható a forgó mozgás esetén érvényes mechanikai munka definíció, így például egyenletes vagy egyenletesen változó körmozgás esetén, tehát amikor a testre ható nyomatékok eredője, és ezáltal a tangenciális erő értéke állandó:

,

vagyis a végzett munka a testre ható nyomaték és a munkavégzés közben bekövetkezett szögelfordulás szorzata, pontosabban a legáltalánosabb esetben

,

amely érték szemléletesen a nyomaték - szögelfordulás függvény görbéje alatti területként azonosítható.

 

A mechanikai teljesítmény

A munkavégzés sebességének jellemzésére vezettük be a mechanikai teljesítmény fogalmát, amely ezek szerint az egységnyi idő alatt végzett munkával definiálható:

.

Természetesen az így definiált mennyiség az átlagos teljesítmény, amely csak akkor egyezik meg a teljesítmény bármely időpontjában érvényes értékkel, ha a végzett munka az idő függvényében állandó. Az általános esetben is érvényes definíció szerint a pillanatnyi teljesítmény a

differenciálhányadossal határozható meg. Azokban a gyakorlatban sűrűn előforduló esetekben, amikor a testre ható erő vektora az idő függvényében állandó (egyenesvonalú egyenletes és egyenletesen változó mozgás), az összefüggés természetesen egyszerűbbé válhat:

,

azaz a pillanatnyi teljesítmény ebben az esetben az erő és a sebesség szorzataként határozható meg, és, amennyiben az erő és a sebesség egyirányú, a skaláris egyenlet adódik.

Határozzuk meg forgó mozgást végző test esetén a pillanatnyi teljesítmény értékét arra az esetre, amikor a mozgást létrehozó nyomaték a szögelfordulás függvényében állandó:

,

vagyis forgó mozgás esetében a pillanatnyi teljesítmény a nyomaték és a pillanatnyi szögsebesség szorzataként adódik, ha a mozgást létrehozó nyomaték állandó (ez az egyenletes és az egyenletesen változó forgómozgás).

 

Az energia fajtái, a mechanikai energia megmaradásának elve

Valamely test egy megadott állapotában munka végzésére képes, azt mondjuk, hogy a test adott szintű energiával rendelkezik. A test energiáját tehát legegyszerűbben az adott test adott állapotban érvényes munkavégző képességével azonosíthatjuk.

Az elmondottak szemléltetésére vizsgáljuk meg, mekkora munkát kell végeznünk ahhoz, hogy egy test mozgásállapotát egyenesvonalú egyenletesen változó mozgás során adott mértékben megváltoztassuk! A testre ható erők eredőjének állandóságát és a mozgással való egyirányúságát figyelembe véve meghatározható az ezen erő által végzett munka nagysága:

Az összefüggésben szereplő mennyiséget a test mozgási vagy kinetikus energiájának nevezzük. A most meghatározott egyenletet szavakkal a következőképpen fogalmazhatjuk meg: A testre ható erők eredője által végzett munka egyenlő a test mozgási energiájának az adott munkavégzés során létrejött megváltozásával, és ezen fizikai törvény természetesen általánosítható tetszőleges haladó mozgás esetére is.

A most megfogalmazott törvényt munkatételnek nevezik, és általánosan azt mondja ki, hogy tetszőleges haladó mozgás esetén a testre ható erők eredője által végzett munka egyenlő a test mozgási energiájának ezen munkavégzés hatására létrejött megváltozásával.

A következőkben vizsgáljunk egy adott állandó nyomaték hatására létrejövő, tehát egyenletesen változó forgómozgással kapcsolatos mechanikai munkavégzés nagyságát:

Láthatjuk, hogy a haladó mozgáshoz hasonlóan definiálhatjuk a forgó mozgást végző test mozgási vagy kinetikus energiáját, és a testre ható nyomatékok eredője által végzett munka egyenlő a test ezen munkavégzés kapcsán létrejött mozgási energiaváltozásával.

Az egyidejűleg haladó és forgó mozgást végző test összenergiája tehát a haladó és a forgó mozgásból származó kinetikus energiák összege, vagyis a

összefüggéssel határozható meg. Az imént megfogalmazott munkatétel tehát érvényes mind haladó, mind forgó, mind egyidejűleg haladó és forgó mozgást végző test esetére, a megfelelő kinetikus energiák figyelembevételével.

Természetesen az imént definiált mozgási energián kívül számos másfajta energiával is találkozhatunk, tekintsünk ezekre a következőkben néhány példát.

A gravitációs erőtörvény kapcsán megbeszéltük, hogy a Föld a közelében lévő testekre erőt fejt ki. Tapasztalati tényként tudjuk azt is, hogy az elektromosan feltöltött test a közelében lévő másik töltésre erőt gyakorol. A térnek azt a tartományát, amelyben az odahelyezett testekre erő hat, erőtérnek vagy mezőnek nevezzük, így tehát beszélhetünk például gravitációs és elektromos térről, illetve mezőről.

Az előbb említett erőterek minden pontjához rendelhetünk egy fizikai mennyiséget, azt a munkát, amelyet az erőtér végez, miközben a test az adott pontból egy vonatkoztatási pontba jut. Ez a munka az előbbi erőterekben (konzervatív erőterek) csak az erőtértől és a két pont megválasztásától függ, illetve a vonatkoztatási pontot rögzítve már csak az erőtérnek és a vizsgált pontnak a függvénye.

Mindezek előrebocsátása után megfogalmazhatjuk a helyzeti vagy potenciális energia definícióját: Valamely test adott pontbeli helyzeti vagy potenciális energiája alatt azt a munkát értjük, amelyet a testre ható erő végez, miközben a test az adott pontból a vonatkoztatási pontba jut. A potenciális energia ezen definíciója természetesen csak konzervatív erőtér esetén érvényes, tehát csak olyan erőtérben, amelyben a definícióbeli munkavégzés csak a két pont helyzetétől függ, és független a munkavégzés során bejárt úttól, azaz a mozgás pályájától.

Azokat a pontokat, amelyekben ugyanazon test potenciális energiája egyenlő, ekvipotenciális pontoknak, az általuk alkotott felületeket pedig ekvipotenciális felületeknek nevezzük. Az erőtér által kifejtett erő az ekvipotenciális felületekre mindig merőleges, a potenciális energia nagyságát pedig a definícióból következően a skaláris szorzat adja meg.

A magassági (vagy helyzeti) energia a nehézségi erőből származtatható potenciális energia, melynek értékét a vonatkoztatási szinttől h magasságban lévő, m tömegű test esetében az összefüggéssel határozhatjuk meg.

A munkavégzés kapcsán példaként említett rugó potenciális energiája, vagyis a rugóban tárolt energia számértéke az ott vázolt feltételek esetén megegyezik annak a munkának az értékével, amelyet a rugó nyújtásakor vagy összenyomásakor rajta végeznünk kellett, vagyis , ha a rugó megnyúlását -sel jelöltük, és a rugóállandó értéke D .

Az előbbiekben vázolt energiák figyelembevételével megfogalmazhatjuk a mechanikai energia megmaradásának elvét: Ha egy pontszerű testre csak konzervatív erők hatnak, akkor mechanikai energiáinak összege állandó.

A mechanikai energia megmaradása

 

Amennyiben ugyanis egy test A-ból B-be mozog bármilyen pályán, akkor a munkatétel szerint:

, vagy rendezve

összefüggés adódik, a test helyzeti és potenciális energiáinak összege állandó. Hangsúlyozzuk azonban, hogy ez a törvény csak konzervatív erő és erőtér esetében érvényes, tehát például nem érvényes akkor, ha a testre ható erők között akár egyetlen nem konzervatív erő, mint például a súrlódási erő szerepel.

- vissza -