A változó mágneses mező és a váltakozó áram

 

Az időben változó mágneses mező: a nyugalmi indukció

     Tudjuk, hogy egy időben állandó árammal átjárt szolenoid tekercs belsejében homogén és az időben állandó mágneses mező jön létre. Ha ennek a tekercsnek az ármát ki-be kapcsoljuk, amikoris a kapcsolási folyamat során a tekercs árama és ezáltal az általa keltett mágneses mező az időben változik, akkor az ennek tekercsnek a közelébe helyezett másik tekercsben felváltva ellentétes irányú áramlökések keletkezését tapasztaljuk. Ezek az áramlökések a második tekercs körében keletkező elektromotoros erőre utalnak.
     A jelenség azzal megmagyarázható, hogy az első tekercs változó mágneses mezeje elektromos mezőt hoz létre maga körül, mely a második tekercsben a töltésekre gyakorolt hatásával elektromos áramot indít. Az így létrejött elektromos mezőt tehát közvetlenül nem töltések hozzák létre, hanem a mágneses mező időbeli változásának következtében alakul ki.
     A mérések tapasztalata szerint a gerjesztőtekercset körülvevő egyetlen menetben indukált áram erőssége egyenesen arányos a vezető által körülfogott mágneses fluxus változási sebességével, és fordítottan arányos a teljes vezetőkör ellenállásával, ugyanakkor független a vezetőkör alakjától, és területétől:

.

     Az összefüggésben szereplő negatív előjel tulajdonképpen az energia-megmaradás törvényének megjelenése a nyugalmi indukció jelensége kapcsán. Eszerint ugyanis az indukált elektromos mező a zárt vezetőkörben olyan irányú áramot hoz létre, amelynek mágneses tere ellentétes irányú az őt keltő mágneses fluxus változásának helyén annak irányával, vagyis akadályozza az őt keltő hatást. Általánosságban is megfogalmazhatjuk, hogy az indukált áram iránya mindig olyan, hogy az őt létrehozó hatást akadályozni igyekszik. Ezt a megállapítást szoktuk a nyugalmi indukcióra vonatkozó Lenz-törvénynek nevezni.
     A változó mágneses mezőbe helyezett tekercs áramköre azonban nem minden esetben zárt, ezért alapvető fontosságú összefüggést kapunk, ha az áramerősségre felírt megállapításunkból a tekercs, illetve a vezetőkör mentén indukált elektromotoros erő nagyságát fejezzük ki:

.

Természetesen az indukált elektromotoros erő értékét a fenti kifejezés csak az időben egyenletesen változó mágneses tér esetén adja meg, általánosan érvényes alakját a kifejezés határértékeként adódó

összefüggés írja le, ha az előbbi vezetőkeret N-szer kerüli meg a változó mágneses fluxust, azaz amikor a tekercs menetszáma N-nel egyenlő. Szavakban ez annyit jelent, hogy valamely zárt, N menetszámú vezetőkeret (tekercs) mentén indukált elektromotoros erő egyenesen arányos a keret által körülfogott mágneses fluxus változásának sebességével és a tekercs menetszámával, de független a vezeték méreteitől és alakjától.

 

A kölcsönös induktivitás és az öninduktivitás

     Az előbbiekben megállapítottuk, hogy ha egy tekercsben változik az áram erőssége és az általa gerjesztett változó mágneses mező egy része behatol egy másik tekercsbe, akkor az abban elektromos feszültséget indukál. A két tekercs tehát elektromágneses kapcsolatba kerül egymással, és ezt a kölcsönhatást a kölcsönös indukciós együttható fogalmának segítségével jellemezhetjük.
     Az első, más szóval primer tekercs által keltett mágneses fluxus, amely a második tekercsen is keresztülhalad, a gerjesztési törvény szerint arányos a benne folyó áram I erősségével. Az indukciótörvény szerint viszont a második tekercsben keletkező feszültség arányos a tekercs belsejében létrejött fluxusváltozás sebességével, és ezáltal az első tekercs áramerősség-változási sebességével:

.

Az összefüggésben szereplő arányossági tényező a két tekercs kölcsönös induktivitása vagy kölcsönös indukciós együtthatója. Értéke vákuumban a két tekercs geometriai adatain (menetszám, hossz, keresztmetszet, alak) kívül a két tekercs egymáshoz viszonyított helyzetétől is függ. Minél nagyobb értéke, a két vezetőkör között annál szorosabb a csatolás. Az induktivitás mértékegysége a definícióból következően a , vagyis a Henry. Természetesen a primer és a szekunder tekercs szerepe megcserélhető, vagyis . Ha egy tekercsben áram indul meg, vagy az áram erőssége megváltozik, akkor ez a tekercs saját mágneses fluxusát teljes egészében körülveszi, azaz egyszerre tölti be a primer és a szekunder tekercs szerepét is, vagyis ilyenkor minden tekercsben önindukciós feszültség keletkezik. Ez az indukált feszültség természetesen kifejezhető a fluxusváltozás sebességével:

,

ahol az arányossági tényező most a tekercs öninduktivitása vagy másnéven önindukciós együtthatója. Egy hosszú, egyenes légmagos tekercs önindukciós együtthatójának meghatározásakor vegyük figyelembe, hogy a mágneses mező a tekercs belsejében homogén, a létrehozott fluxus értéke pedig , így az önindukciós feszültség

,

tehát ezen tekercs önindukciós együtthatója:

.

     Az önindukció jelenségének fontos gyakorlati alkalmazásával, illetve előfordulásával találkozhatunk az önindukciós tekercset is tartalmazó áramkörök ki- és bekapcsolásának vizsgálatakor. Lenz törvényének értelmében ugyanis bekapcsoláskor az indukált elektromotoros erő ellenkező értelmű, mint az őt létrehozó hatás, vagyis az áram növekedése, míg kikapcsolás esetében az áram csökkenése ellenében hat. Az így kialakult feszültség olyan értékű is lehet, amely akár a vezetékek szigetelését is károsíthatja. A kísérletek tapasztalatai és elméleti megfontolások alapján egyaránt adódik, hogy a be- és kikapcsolások következtében kialakuló áram erőssége az időnek exponenciális függvénye:

, illetve ,

vagyis már ezen példa kapcsán megállapíthatjuk, hogy a tekercs induktivitása az áram változásával szembeni tehetetlenségének, ellenállásának mértéke.

1. ábra

 

Mozgó vezeték mágneses mezőben: a mozgási indukció

     A következőkben végezzük el azt a kísérletet, amikor a mágneses mező az időben állandó, benne azonban v=állandó sebességgel egy fémes vezetőt mozgatunk. Ha ezen sebesség iránya nem párhuzamos az indukcióvonalakkal, akkor a fém kristályrácsában levő pozitív és negatív töltésekre a mágneses Lorentz erő hat, mégpedig a kétféle töltésre ellentétes irányban. Ennek következtében a fém töltései bizonyos mértékig szétválnak, és ez a szétválási folyamat mindaddig tart, míg az így létrejött elektrosztatikus mező a fémen belül éppen egyensúlyt nem tart a mágneses Lorentz erővel. A vezeték két pontja között tehát feszültség jön létre, és ezt a jelenséget mozgási indukciónak nevezzük.

2. ábra

     A jelenséget elvileg felfoghatjuk a nyugalmi indukció speciális eseteként, csak most a fluxus változását nem a mágneses teret keltő áram és ezáltal az indukció, hanem a vezeték által súrolt felület időbeli változása hozza létre. A feszültség az l hosszúságú vezeték két vége között ennek megfelelően

.

A töltésszétválasztó elektromotoros erő ezzel ellentétes értelmű, nagysága az indukált feszültséggel megegyező. Az összefüggés természetesen kiterjeszthető arra az általános esetre is, amikor a vezető mozgásának v sebessége a mágneses tér B indukciójának vektorával tetszőleges a szöget zár be egymással, a szuperpozíció elvéből következően ugyanis ebben az esetben:

.

Ha a mágneses térben mozgatott vezetéket zárt áramkörré egészítjük ki, akkor a mozgó vezetékszakaszban I erősségű áram folyik, és ezáltal újabb, nagyságú Lorentz erő lép fel. Ennek az erőnek az iránya az összefüggés alapján olyan, hogy akadályozza a vezetékszakasz mozgását, mert annak v sebességével ellentétes irányában hat: ez Lenz törvénye a mozgási indukció jelenségére. Természetesen ebben is az energia megmaradásának törvénye nyer kifejezést: ha nem így lenne, akkor az elindított vezeték a Lorentz erő hatására egyre gyorsabban haladna és egyre több áramot szolgáltatna a fogyasztónak mindenféle munka befektetése nélkül.

 

A váltakozó áram előállítása, leírása

     A következőkben gondolatban végezzük el azt a kísérletet, amikor egy állandó mágnes közelítőleg homogén mezejében állandó szögsebességgel egy téglalap alakú vezetőkeretet forgatunk az indukcióra merőleges tengely körül. Mindkét indukcióvonalra merőleges vezetékszakaszban elektromotoros erő indukálódik, így a keretben keletkező teljes elektromotoros erő nagysága:

,

ahol l a B- re merőleges forgástengellyel párhuzamos vezetékpár összhossza, hiszen a másik két vezetékdarabban hosszirányú elektromotoros erő nem keletkezik. A indukált elektromotoros erő értéke tehát a szögelfordulás és ezáltal az idő függvényében állandóan változik, hiszen az egyenletes forgómozgásra érvényes összefüggés felhasználásával

.

Ha a keret kivezetései nem zártak, végpontjai között ugyanekkora indukált feszültség is keletkezik:

.

A kísérlet eredményeképpen tehát egy az időben szinuszosan változó, úgynezevett. váltakozófeszültséget kapunk. A jelölésben a kis betű a feszültség pillanatnyi értékére, amíg a feszültség maximális értékére utal. Amennyiben vezetőkeretünket zárt áramkörré egészítjük ki, benne természetesen

nagyságú áram fog folyni, vagyis a vezetőben tisztán ohmos ellenállású áramkörben a feszültséggel fázisban lévő áram jön létre.

 

A váltakozó feszültség és áram jellemző értékei

     Az előbbi módon létrehozott váltakozó feszültség és áram pillanatnyi értéke gyors változás esetén mutatósműszerrel nem mérhető, és maximális értékének mérése is nehezen kivitelezhető. Éppen ezért vezették be a váltakozó mennyiségek jellemzésére a könnyen mérhető, az áram hőhatásának segítségével értelmezett úgynevezett effektív (hatásos) érték fogalmát.
     A váltakozó áram effektív feszültségén, illetve áramerősségén definíció szerint annak az egyenáramnak a feszültségét, ill. áramerősségét értjük, amely ugyanabban a vezetőben, vagyis ugyanakkora R ellenálláson ugyanannyi idő alatt ugyanannyi hőt fejleszt, mint az adott váltakozó áram. Könnyen megmutatható, hogy szinuszosan változó jelalak esetében az effektív feszültség és áramerősség a szinuszosan váltakozó áram maximális feszültségével és maximális áramerősségével a következő kapcsolatban van:

, illetve .

A továbbiakban valamely váltakozó mennyiség értékén mindig annak effektív értékét fogjuk érteni.

 

A váltakozó mennyiségek vektoros ábrázolása, az impedancia

Feladataink megoldása során gyakran van szükségünk arra, hogy ne csak a váltakozó jelek maximális, illetve effektív értékeit, hanem egymáshoz képesti időbeli lefolyását is össze tudjuk hasonlítani, ezért vezették be a váltakozó áramú hálózatok feszültség- és áramerősség-értékeinek szemléletes, úgynevezett forgóvektoros ábrázolását. Ekkor tehát ezeket a szinuszos jeleket vektoroknak tekintjük, pontosabban csak vektorokként ábrázoljuk, és megállapodás szerint a koordinátarendszer kezdőpontjából a váltakozó feszültség, ill. áramerősség csúcsértékét mérjük fel, amelyet irányított szakasznak tekintünk. Ha szögsebességgel az x tengelytől pozitív forgásirányba forgatni kezdjük e vektorokat, az y tengelyre eső vetületük éppen a váltakozófeszültség és áramerősség pillanatnyi értékeit adja meg nagyság és egymáshoz viszonyított irány, vagyis fáziseltolódás szerint.

3. ábra

     Ezek után vizsgáljunk egy olyan áramkört, amely felváltva tartalmaz egy nagy értékű ohmos ellenállást, (például egy nagy ellenállású egyenes huzalt), egy sokmenetű vasmagos tekercset, melynek ellenállása legyen az előbbi ohmos ellenállással egyenlő, végezetül pedig egy kondenzátort.
     Vizsgáljuk meg először az ohmikus ellenállást, és kapcsoljuk az egyenes vezetéket egyenáramú feszültségforrásra! Azt tapasztaljuk, hogy az áramkörben a feszültség és a vezető ellenállása által meghatározott értékű áram folyik. Ha ugyanezt a kört váltakozó feszültséggel tápláljuk, amelynek effektív értéke az előbbi egyenfeszültséggel megegyezik, az áramkörbe helyezett ellenőrző lámpa pontosan olyan fénnyel világít, mint az előbb, és árammérő műszerünk is azonos áramerősség értéket mutat. A kísérlet tanúsága szerint tehát egy tisztán ohmikus ellenállás egyen- és váltakozó árammal szembeni ellenállása megegyezik, és csak a vezeték fajlagos ellenállásától, hosszától és keresztmetszetétől függ:

.

     A csak ohmos ellenállást tartalmazó áramkörben a feszültség és az áram Ohm törvényének következtében egymással fázisban van, a feszültség és az áram közötti fáziseltolás értéke tehát zérus. Ugyanígy azt is megállapíthatjuk, hogy Ohm törvénye váltakozó mennyiségek esetén is igaz a mennyiségek effektív értékére.
     A következőkben kapcsoljuk a tekercset az egyenes vezető helyébe! Az áramkört egyenfeszültséggel táplálva az izzó az előbbivel megegyező erősséggel világít, és műszerünk is az előzővel azonos áramerősséget mutat. Ha viszont ugyanezt a kört váltakozó feszültségre kapcsoljuk, azt tapasztaljuk, hogy az izzó halványabban világít, és a műszer kisebb áramerősséget jelez. Ha az indukciós tekercs vasmagját beljebb toljuk, vagyis tekercsünk induktivitását növeljük, az izzólámpa egyre halványabban világít, vagyis az áramkör ellenállása jelentősen megnőtt. Hasonló eredményre juthatunk, ha nem a tekercs induktivitását, hanem a tápláló feszültség frekvenciáját változtatjuk, ekkor a tekercs váltakozó árammal szembeni ellenállása a frekvencia növekedésével nagyobb lesz. Az előbbiek szerint tehát a tekercs váltakozó árammal szembeni ellenállása függ az induktivitástól és a tápláló feszültség frekvenciájától, és egyenárammal szemben ilyen többletellenállás nem mutatkozik. A tekercsnek a kísérletekben megállapított váltakozó áramokkal szemben tanúsított többletellenállása az indukció következménye, ezért ezt az ellenállást induktív ellenállásnak vagy induktív reaktanciának nevezzük, és -lel jelöljük. Mértékegysége természetesen megegyezik az ohmos ellenállás egységével, vagyis ohm.
     Ideális tekercs esetén a tekercs induktív reaktanciáját meghatározhatjuk, ha visszagondolunk a váltakozó feszültség előállítására vonatkozó kísérletünkre, és alkalmazzuk Faraday indukciós törvényét:

,

Ugyanebből az is következik, hogy ideális tekercs esetében az áram -kal késik a feszültséghez képest, vagyis

feszültség esetén az áram

az időfüggvény szerint változik.
     A kísérlet következő lépésében kapcsoljuk a tekercs helyére a kondenzátort! Egyenfeszültség esetén természetesen a körben nem folyik áram, hiszen a kondenzátor az egyenfeszültség számára szakadást, vagyis végtelen nagy érétkű ellenállást jelent. Ha azonban váltakozó feszültségre kapcsoljuk a kört, akkor izzónk világítani fog, és műszerünk is áramot jelez. Az áramerősség nő, ha a kondenzátor kapacitását növeljük, és ugyancsak növekszik nagyobb hálózat körfrekvencia, illetve frekvencia esetén. Ennek alapján megállapíthatjuk tehát, hogy a kondenzátor a váltakozó árammal szemben véges ellenállást képvisel. A feszültség és az áram hányadosával értelmezett mennyiséget kapacitív ellenállásnak vagy kapacitív reaktanciának nevezzük és -vel jelöljük, mértékegysége pedig az ohm.
     A kondenzátor töltésének és kapacitásának összefüggéséből és az áramerősség definíciójából adódóan az ideális kondenzátor kapacitív ellenállása:

,

vagyis a kapacitív ellenállás a hálózat körfrekvenciája és a kondenzátor kapacitása szorzatának reciprokával egyenlő. Ugyanezen összefüggésekből adódik az is, hogy a kondenzátorra kapcsolt

hatására az áramkörben

áram folyik, vagyis a kondenzátor árama -kal siet a feszültséghez képest.

     Ha egy áramkörbe ohmos ellenállást, induktív tekercset és kondenzátort sorba kapcsolunk, akkor ún. soros RLC kört kapunk.

4. ábra

Ha erre a rendszerre váltakozó feszültséget kapcsolunk, akkor az áramkörben áram jön létre. Az Ohm törvényével definiálható mennyiséget az áramkör látszólagos ellenállásának vagy impedanciájának nevezzük, míg a szinuszos jelek fázisának különbségét fáziseltolásnak nevezzük. Ha az egyes áramköri elemek feszültségét, áramát és impedanciáját a már említett forgó vektorok segítségével ábrázoljuk, akkor a vektorok abszolút értékére, vagyis a maximális értékekre a Pithagorasz-tétel alapján az

,

és az

értékek adódnak. Az áramerősség a feszültséghez képest szöggel van eltolva, amelynek értéket a vektorábra alapján a összefüggés segítségével határozhatjuk meg.

5. ábra

Ha ez a fázisszög pozitív, akkor az áram késik a feszültséghez képest, vagyis az áramkörben az induktív impedancia a mértékadó. Amennyiben a kapacitív reaktancia a mértékadó, akkor a fázisszög negatív, vagyis az áram siet a feszültséghez képest, míg zérus fázisszög esetében az áram és a feszültség egymással fázisban vannak, tehát az áramkör vagy csak ohmos ellenállásokat tartalmaz, vagy az induktív és kapacitív reaktanciák kiegyenlítik egymást.

     A vektorábrából szintén szemléletesen leolvasható mennyiséget az áramkör teljesítménytényezőjének nevezzük, hiszen a váltakozó áram hatásos teljesítménye a

összefüggéssel határozható meg. Az adott feszültség és tisztán ohmikus ellenállású áramkör esetében elérhető maximális teljesítmény a látszólagos teljesítmény, míg a összefüggéssel definiált mennyiséget a rendszer meddő teljesítményének nevezzük.

vissza